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首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。

首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。

给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。

给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指，<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>。<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>。最后，<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。这种轨迹的投影可以写作下列公式：

 

对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。

 

{{NumBlk|:|

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回想一下图(1)的交换律。我们现在有了微观动力学，也有了微观到宏观的粗粒化过程。所以式子(3)描述的是 微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 这一条路径。

回想一下图(1)的交换律。我们现在有了微观动力学，也有了微观到宏观的粗粒化过程。所以式子(3)描述的是 微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 这一条路径。

需要注意的是，虽然任意一个state partition <math>A</math>都能走这样的路径，并形成lumped process。但不是所有的这些lumped process都是有意义且满足交换律的。

需要注意的是，虽然任意一个state partition <math>A</math>都能走这样的路径，并形成lumped process，但不是所有的这些lumped process都是有意义且满足交换律的。他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述这种微观状态的宏观投影，也不一定会拥有马尔科夫性。

书中接下来就定义了什么叫做lumpable partition：

我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做lumpable partition：

对于一个给定的state partition <math>A</math>，当

对于一个给定的state partition <math>A</math>，当

# 式子(3)对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，

# 式子(3)对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，

# 定义<math>A^{(t)} = A(s^{(t)})</math>表示系统在<math>t</math>时刻的宏观状态，<math>\{A^{(0)}, ... , A^{(t-1)} \}</math>具有马尔科夫性，即<math>Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i] = Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k]</math>时，

# 定义<math>A^{(t)} = A(s^{(t)})</math>表示系统在<math>t</math>时刻的宏观状态，<math>\{A^{(0)}, ... , A^{(t-1)} \}</math>具有马尔科夫性，即<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>时，

<math>A</math>是一个lumpable partition。

<math>A</math>是一个lumpable partition。

===lumpable partition的充分必要条件===

===lumpable partition的充分必要条件===

作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：

作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>

对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。  

对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。  

顺着这个条件，我们也能定义宏观动力学<math>\{A^{(0)}, ... , A^{(t-1)} \}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>：

顺着这个条件，我们也能对lumpable partition，定义宏观动力学<math>\{A^{(0)}, ... , A^{(t-1)} \}</math>了：

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对于lumpable partition <math>A</math>定义宏观动力学后，我们就能走另外一条路径了：微观状态->粗粒化->宏观动力学->宏观状态。

对于lumpable partition <math>A</math>定义宏观动力学后，我们就能走另外一条路径了：微观状态->粗粒化->宏观动力学->宏观状态。