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必要性是指，如果我们想要说明一个马尔可夫链和partition <math>A</math>是lumpable，那么就肯定会满足上述的这个特定条件。

必要性是指，如果我们想要说明一个马尔可夫链和partition <math>A</math>是lumpable，那么就肯定会满足上述的这个特定条件。

对于lumpable partition <math>A</math>，我们知道其满足宏观马尔可夫性，且<math>Pr_{\pi} [ (s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i ]</math>对每个<math>\pi</math>保持一致，即在<math>t=0</math>时无论从哪个具体的初始状态<math>\pi</math>开始，只要它属于<math>A_i</math>这个群组里，在<math>t=1</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率都相同。

对于lumpable partition <math>A</math>，我们知道其满足宏观马尔可夫性，且<math>Pr_{\pi} [ s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i ]</math>对每个<math>\pi</math>保持一致，即在<math>t=0</math>时无论从哪个具体的初始状态<math>\pi</math>开始，只要它属于<math>A_i</math>这个群组里，在<math>t=1</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率都相同。

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ (s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

所以，这说明了，如果一个马尔可夫链的lumped process满足lumpability，那么从任一集合到另一集合的转移概率必须是集合间的固定值，而与集合内的具体状态（不管是<math>\pi</math>还是<math>s_k</math>）无关。这个固定值就是式子（4）定义的宏观状态转移概率，所以满足了该条件。

所以，这说明了，如果一个马尔可夫链的lumped process满足lumpability，那么从任一集合到另一集合的转移概率必须是集合间的固定值，而与集合内的具体状态（不管是<math>\pi</math>还是<math>s_k</math>）无关。这个固定值就是式子（4）定义的宏观状态转移概率，所以满足了该条件。