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这种传统测度局限性的一个体现就是变量间的协同效应：假设我们有两个独立的布尔变量作为源变量 <math>X_1, X_2 \in \{0,1\></math> 和一个通过对源变量进行抑或操作所得到的目标变量 <math>Y=XOR(X_1,X_2)</math>。在这种情况下，总互信息 <math>I(X_1,X_2;Y)=1</math>，而个体互信息 <math>I(X_1;Y)=I(X_2;Y)=0</math>。也就是说，<math>X_1,X_2</math> 关于 <math>Y</math> 的相互作用产生了协同信息，而这无法用经典信息论中的互信息或是信息熵量轻易捕捉到。

这种传统测度局限性的一个体现就是变量间的协同效应：假设我们有两个独立的布尔变量作为源变量 <math>X_1, X_2 \in \{0,1\></math> 和一个通过对源变量进行抑或操作所得到的目标变量 <math>Y=XOR(X_1,X_2)</math>。在这种情况下，总互信息 <math>I(X_1,X_2;Y)=1</math>，而个体互信息 <math>I(X_1;Y)=I(X_2;Y)=0</math>。也就是说，<math>X_1,X_2</math> 关于 <math>Y</math> 的相互作用产生了协同信息，而这无法用经典信息论中的互信息或是信息熵量轻易捕捉到。

对于更加一般的三变量场景而言，部分信息分解将源变量 <math>\{X_1,X_2\></math> 与目标变量 <math>Y</math> 之间的互信息分解为四个部分：[[文件:PID Venn.png|替代=|左|无框]]<math>I(X_1,X_2;Y)=\text{Unq}(X_1;Y \setminus X_2) + \text{Unq}(X_2;Y \setminus X_1) + \text{Syn}(X_1,X_2;Y) + \text{Red}(X_1,X_2;Y)</math>

对于更加一般的三变量场景而言，部分信息分解将源变量 <math>\{X_1,X_2\></math> 与目标变量 <math>Y</math> 之间的互信息分解为如下图所示的四个部分：[[文件:PID Venn.png|替代=|左|无框]]<math>I(X_1,X_2;Y)=\text{Unq}(X_1;Y \setminus X_2) + \text{Unq}(X_2;Y \setminus X_1) + \text{Syn}(X_1,X_2;Y) + \text{Red}(X_1,X_2;Y)</math>

此处各个信息原子定义为

此处各个信息原子定义为

1. 因果涌现：在复杂系统中，宏观层面的因果关系可能比微观层面更加明显，即宏观层面的因果关系能够解释更多的现象。


1. 因果涌现：在复杂系统中，宏观层面的因果关系可能比微观层面更加明显，即宏观层面的因果关系能够解释更多的现象。


2. ϕID（phiID）：一种用来衡量因果涌现的方法，但其数学公式复杂且计算量大，难以应用于现实世界系统。

2. 整合信息论（<math> \Phi ID </math>）：一种用来衡量因果涌现的方法，但其数学公式复杂且计算量大，难以应用于现实世界系统。

3. PID计算：一种计算方法，由于其不一致性，导致因果涌现的定义依赖于特定的PID计算方法。


3. PID计算：一种计算方法，由于其不一致性，导致因果涌现的定义依赖于特定的PID计算方法。