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===随机游走动力学===

===随机游走动力学===

由于因果涌现理论量化的是系统的动力学，对于离散马尔科夫动力学来说就是[[转移概率矩阵]]（Transitional Probability Matrix，简称TPM）。然而对于复杂网络来说，给定一个已知网络，并不具有动力学，所以需要人为定义一套网络上的动力学。Klein等人借助[[随机游走子]]的概念，在网络上定义了一个[[随机游走动力学]]，该动力学可以被自然地用[[马尔科夫链]]来进行表示，并且该马尔科夫链的状态就对应了网络上的节点，而状态转移概率矩阵也可以自然地用网络的[[邻接矩阵]]进行表示。

由于因果涌现理论量化的是系统的动力学，对于离散马尔科夫动力学来说就是[[转移概率矩阵]]（Transitional Probability Matrix，简称TPM）。然而对于复杂网络来说，给定一个已知网络，并不具有动力学，所以需要人为定义一套网络上的动力学。Klein等人借助[[随机游走子]]的概念，在网络上定义了一个[[随机游走动力学]]，该动力学可以被自然地用[[马尔科夫链]]来进行表示，并且该马尔科夫链的状态就对应了网络上的节点，而状态转移概率矩阵也可以自然地用网络的[[邻接矩阵]]的某种变换而得到。

具体的，假设我们考虑一个联通的[[无向图]]G，邻接矩阵为[math]A[/math]。假设图上有N个节点，分别表示为1,2,...,N。我们首先可以定义节点<math>i\in \{1,2,\cdots,N\}</math>到节点<math>j\in \{1,2,\cdots,N\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，它满足：

具体的，假设我们考虑一个联通的[[无向图]]G，邻接矩阵为[math]A[/math]。假设图上有N个节点，分别表示为1,2,...,N。我们首先可以定义节点<math>i\in \{1,2,\cdots,N\}</math>到节点<math>j\in \{1,2,\cdots,N\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，它满足：

</math>

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这里，[math]a_{ij}\geq 0[/math]为G的邻接矩阵A的第i行，第j列元素。由于G是连通图，因此[math]\sum_{j=1}^N a_{ij}\neq 0[/math]。根据该定义，[math]w_{ij}[/math]自然满足归一化条件：

这里，[math]a_{ij}\geq 0[/math]为G的邻接矩阵A的第i行，第j列元素，它对应连边[math]i\rightarrow j[/math]的权重。由于G是连通图，因此[math]\sum_{j=1}^N a_{ij}\neq 0[/math]。根据该定义，[math]w_{ij}[/math]自然满足归一化条件：

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