275
个编辑
更改
→David Hume的恒常连结
<math>\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)</math>
<math>\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)</math>
[math]\displaystyle{ E(X) }[/math]和[math]\displaystyle{ E(Y) }[/math]分别是随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]的期望值，即各自独立时的平均结果。[math]\displaystyle{ E(XY) }[/math]这是随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]乘积的期望值，表示在多次实验中，[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]乘积的平均结果。如果我们用指示函数
[math]\displaystyle{ X_{c} }[/math]（以及[math]\displaystyle{ Y_{e} }[/math]）来替换上述方程中的变量，其中[math]\displaystyle{ X_{c} }[/math]（以及[math]\displaystyle{ Y_{e} }[/math]）在[math]\displaystyle{ c }[/math]（或[math]\displaystyle{ e }[/math]）发生时取值为1，否则取值为0，那么就可以得到一个新的方程：
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} Cov(X_{c},Y_{e})& =P(c,e)-P(c)P(e) \\ &=P(c)P(e\mid c)-P(c)[P(c)P(e\mid c)+P(\bar{c})P(e\mid C\backslash c)] \\ &=P(e\mid c)P(c)[1-P(c)]+P(c)P(C\backslash c)P(e\mid C\backslash c) \\ &=P(e\mid c)P(c)P(C\backslash c)]+P(c)P(C\backslash c)P(e\mid C\backslash c) \\ &=P(c)P(C\backslash c)[P(e\mid c)-P(e\mid C\backslash c)]) \end{aligned} }[/math]
我们利用了这样一个事实：<math>P(e\mid c)</math>可以分解为两个加权和，即<math>c</math>和<math>C\c</math>。按照其他人的命名法<ref>Branden Fitelson and Christopher Hitchcock. Probabilistic Measures of Causal Strength. ''Causality in the Sciences'',
January 2010.</ref>，我们将其称为因果强度的“高尔顿测度（Galton measure）”，因为它与生物学中性状遗传的形式非常相似，也是统计协方差的一种形式：
== 因果基元的形式化 ==
== 因果基元的形式化 ==