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===几何意义：===

===几何意义：===

由于<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>是酉矩阵，<math>\mathbf{U}</math>的列<math>\mathbf{U}_1,\ldots,\mathbf{U}_m</math>构成<math>K^m</math>的[[标准正交基]]，<math>\mathbf{V}</math>的列<math>\mathbf{V}_1,\ldots,\mathbf{V}_n</math>构成<math>K^n</math>的标准正交基（基于这些空间的[[标量积]]（scalar products））。

由于<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>是酉矩阵，<math>\mathbf{U}</math>的列<math>\mathbf{U}_1,\ldots,\mathbf{U}_m</math>构成<math>K^m</math>的[[标准正交基]]，<math>\mathbf{V}</math>的列<math>\mathbf{V}_1,\ldots,\mathbf{V}_n</math>构成<math>K^n</math>的标准正交基（基于这些空间的[[标量积]]（scalar products 两个向量间的内积））。

[[线性变换]]定义为：

[[线性变换]]定义为：

1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向送到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。

1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向送到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。

2. 应用沿坐标轴对角化的[[自同态]]（endomorphism）<math>\mathbf{D}</math>，在每个方向上进行拉伸或收缩，使用<math>T(S)</math>的半轴长度作为拉伸系数。组合<math>\mathbf{D} \circ \mathbf{V}^*</math>将单位球面送到与<math>T(S)</math>等距的椭球体。

2. 应用沿坐标轴对角化的[[自同态]]（endomorphism 映射自身到自身的线性变换）<math>\mathbf{D}</math>，在每个方向上进行拉伸或收缩，使用<math>T(S)</math>的半轴长度作为拉伸系数。组合<math>\mathbf{D} \circ \mathbf{V}^*</math>将单位球面送到与<math>T(S)</math>等距的椭球体。

3. 最后，对这个椭球体应用等距变换<math>\mathbf{U}</math>以得到<math>T(S)</math>。

3. 最后，对这个椭球体应用等距变换<math>\mathbf{U}</math>以得到<math>T(S)</math>。