2,469
个编辑
更改
→数值方法
还有一种不显式使用特征值分解的替代方法<ref>{{cite web |title=Simple SVD |url=https://mathworks.co.kr/matlabcentral/fileexchange/12674-simple-svd |website=MATLAB Central File Exchange }}</ref>。通常，我们将矩阵<math>\mathbf{M}</math>的奇异值问题转换为等价的对称特征值问题，如<math>\mathbf{M}\mathbf{M}^{*}</math>，<math>\mathbf{M}^{*}\mathbf{M}</math>，或 <math> \begin{bmatrix}\mathbf{0} &\mathbf{M} \\\mathbf{M}^{*}&\mathbf{0} \end{bmatrix}. </math>
还有一种不显式使用特征值分解的替代方法<ref>{{cite web |title=Simple SVD |url=https://mathworks.co.kr/matlabcentral/fileexchange/12674-simple-svd |website=MATLAB Central File Exchange }}</ref>。通常，我们将矩阵<math>\mathbf{M}</math>的奇异值问题转换为等价的对称特征值问题，如<math>\mathbf{M}\mathbf{M}^{*}</math>，<math>\mathbf{M}^{*}\mathbf{M}</math>，或 <math> \begin{bmatrix}\mathbf{0} &\mathbf{M} \\\mathbf{M}^{*}&\mathbf{0} \end{bmatrix}. </math>
使用特征值分解的方法基于[[QR算法]]，该算法已发展得稳定且快速。注意，奇异值是实数，右奇异向量和左奇异向量不需要形成相似变换。我们可以在[[QR分解]]和[[LQ分解]]之间迭代交替以找到实对角[[Hermitian矩阵]]。[[QR分解]]给出<math>\mathbf{M} \Rightarrow \mathbf{Q}\mathbf{R}</math>，<math>\mathbf{R}</math>的LQ分解给出<math>\mathbf{R} \Rightarrow \mathbf{L}\mathbf{P}^{*}</math>。因此，每次迭代中，我们有<math>\mathbf{M} \Rightarrow \mathbf{Q}\mathbf{L}\mathbf{P}^{*}</math>，更新<math>\mathbf{M} \Leftarrow \mathbf{L}</math>并重复正交化。最终，[[QR分解]]和[[LQ分解]]之间的这种迭代产生左右酉奇异矩阵。这种方法不能像QR算法那样通过谱移位或缩减来加速，因为没有使用相似变换，移位方法不易定义。然而，这种迭代方法实现简单，当速度不重要时是个不错的选择。它还提供了纯正交/酉变换如何获得SVD的洞察。
使用特征值分解的方法基于[[QR算法]]，该算法已发展得稳定且快速。注意，奇异值是实数，右奇异向量和左奇异向量不需要形成相似变换。我们可以在[[QR分解]]和[[LQ分解]]之间迭代交替以找到实对角[[厄米矩阵]]。[[QR分解]]给出<math>\mathbf{M} \Rightarrow \mathbf{Q}\mathbf{R}</math>，<math>\mathbf{R}</math>的LQ分解给出<math>\mathbf{R} \Rightarrow \mathbf{L}\mathbf{P}^{*}</math>。因此，每次迭代中，我们有<math>\mathbf{M} \Rightarrow \mathbf{Q}\mathbf{L}\mathbf{P}^{*}</math>，更新<math>\mathbf{M} \Leftarrow \mathbf{L}</math>并重复正交化。最终，[[QR分解]]和[[LQ分解]]之间的这种迭代产生左右酉奇异矩阵。这种方法不能像QR算法那样通过谱移位或缩减来加速，因为没有使用相似变换，移位方法不易定义。然而，这种迭代方法实现简单，当速度不重要时是个不错的选择。它还提供了纯正交/酉变换如何获得SVD的洞察。
===2 × 2 SVD的解析结果===
===2 × 2 SVD的解析结果===