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== 格兰杰涌现（G-涌现）方法 ==

== 格兰杰涌现（G-涌现）方法 ==

为了得出一种连续的弱涌现的测量方法，我们从一个基本概念开始：一个弱涌现的宏观属性同时具备(i) 自主性和(ii) 对其底层因果因素的依赖性<ref name="Bedau_weak_emergence" />。为了将这一概念转化为统计学上的操作方法，我们提出可以通过如下方式来衡量一个宏观变量<math>M</math>相对于一组微观变量<math>m</math>（其中 <math>(m = m_1, m_2, ..., m_N)</math>）的弱涌现程度：条件1）：<math>M</math>的过去观测值能够比仅基于<math>m</math>的过去观测值更准确地预测<math>M</math>的未来观测值；条件2）：<math>m</math>的过去观测值能够比仅基于<math>M</math>的过去观测值更准确地预测M的未来观测值。

为了得出一种连续的弱涌现的测量方法，我们从一个基本概念开始：一个弱涌现的宏观属性同时具备(i) 自主性和(ii) 对其底层因果因素的依赖性<ref name="Bedau_weak_emergence" />。为了将这一概念转化为统计学上的操作方法，我们提出可以通过如下方式来衡量一个宏观变量<math>M</math>相对于一组微观变量<math>m</math>（其中 <math>(m = m_1, m_2, ..., m_N)</math>）的弱涌现程度：条件1）：<math>M</math>的过去观测值能够比仅基于<math>m</math>的过去观测值更准确地预测<math>M</math>的未来观测值；条件2）：<math>m</math>的过去观测值能够比仅基于<math>M</math>的过去观测值更准确地预测<math>M</math>的未来观测值。

第一个条件提供了一个客观的度量标准，来衡量从微观到宏观的推导路径是否具有非平凡性；第二个条件则检验了从微观到宏观的因果依赖性。这个定义依赖于宏观和微观描述层次的选择，同时也依赖于预测方法的选择。正如后文所述，格兰杰<ref name="Granger_investigating_causal_relations">{{cite journal|author=Granger C|title=Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods|journal=Econometrica|year=1969|volume=37|page=424–438}}</ref>最早提出的因果关系的统计定义，为这种预测提供了适当的框架，因此本文将这种测量方法称为G-涌现（G-emergence）。

第一个条件提供了一个客观的度量标准，来衡量从微观到宏观的推导路径是否具有非平凡性；第二个条件则检验了从微观到宏观的因果依赖性。这个定义依赖于宏观和微观描述层次的选择，同时也依赖于预测方法的选择。正如后文所述，格兰杰<ref name="Granger_investigating_causal_relations">{{cite journal|author=Granger C|title=Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods|journal=Econometrica|year=1969|volume=37|page=424–438}}</ref>最早提出的因果关系的统计定义，为这种预测提供了适当的框架，因此本文将这种测量方法称为G-涌现（G-emergence）。

<math>gc_{2 \to 1} = \log \left( \frac{\mathrm{var}(\xi_{1R(12)})}{\mathrm{var}(\xi_{1U})} \right),</math>

<math>gc_{2 \to 1} = \log \left( \frac{\mathrm{var}(\xi_{1R(12)})}{\mathrm{var}(\xi_{1U})} \right),</math>

其中，<math>gc_{2 \to 1}</math> 表示从变量 <math>X_2</math> 到变量 <math>X_1</math> 的格兰杰因果性测量值。<math>\xi_{1R(12)}</math> 是从省略了是从省略了第一个方程中的 <math>A_{12,j}</math>（对所有 <math>j</math>）系数的模型中得到的预测误差；<math>\xi_{1U}</math> 是从包含 <math>X_2</math> 对 <math>X_1</math> 影响的完整模型中得到的预测误差。通过计算 <math>\frac{\text{var}(\xi_{1R(12)})}{\text{var}(\xi_{1U})}</math> 的对数，<math>gc_{2 \to 1}</math> 可以量化 <math>X_2</math> 对 <math>X_1</math> 的预测贡献。如果 <math>gc_{2 \to 1}</math> 的值为正，说明包含 <math>X_2</math> 能显著减少 <math>X_1</math> 的预测误差，表明 <math>X_2</math> 对 <math>X_1</math> 有格兰杰因果性。重要的是，格兰杰因果关系很容易推广到多变量的情况，在这种情况下，检验的是在多个变量<math>X₂...Xₙ</math>的上下文中的格兰杰因果关系（对所有 <math>Xᵢ ≠ Xⱼ</math>）。在这种情况下，如果当所有其他变量 <math>X₃...Xₙ</math> 的活动也包含在回归模型中时，知道 <math>X₂</math> 会减少<math> X₁</math> 预测误差的方差，那么<math>X₂</math>对<math> X₁</math>具有格兰杰因果性（参见下文）。有关格兰杰因果关系的教程介绍，请参阅 Seth<ref name="Seth_granger_causality" />。

其中，<math>gc_{2 \to 1}</math> 表示从变量 <math>X_2</math> 到变量 <math>X_1</math> 的格兰杰因果性测量值。<math>\xi_{1R(12)}</math> 是从省略了是从省略了第一个方程中的 <math>A_{12,j}</math>（对所有 <math>j</math>）系数的模型中得到的预测误差；<math>\xi_{1U}</math> 是从包含 <math>X_2</math> 对 <math>X_1</math> 影响的完整模型中得到的预测误差。通过计算 <math>\frac{\text{var}(\xi_{1R(12)})}{\text{var}(\xi_{1U})}</math> 的对数，<math>gc_{2 \to 1}</math> 可以量化 <math>X_2</math> 对 <math>X_1</math> 的预测贡献。如果 <math>gc_{2 \to 1}</math> 的值为正，说明包含 <math>X_2</math> 能显著减少 <math>X_1</math> 的预测误差，表明 <math>X_2</math> 对 <math>X_1</math> 有格兰杰因果性。重要的是，格兰杰因果关系很容易推广到多变量的情况，在这种情况下，检验的是在多个变量<math>X₂...Xₙ</math>的上下文中的格兰杰因果关系（对所有 <math>Xᵢ ≠ Xⱼ</math>）。在这种情况下，如果当所有其他变量 <math>X₃...Xₙ</math> 的活动也包含在回归模型中时，知道 <math>X₂</math> 会减少<math> X₁</math> 预测误差的方差，那么<math>X₂</math>对<math> X₁</math>具有格兰杰因果性。有关格兰杰因果关系的教程介绍，请参阅 Seth<ref name="Seth_granger_causality" />。

=== 格兰杰自主性测量 ===

=== 格兰杰自主性测量 ===