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→鸟群模拟
其中，<math>\alpha_i</math>表示第<math>i</math>只鸟的方向角。<math>\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3</math>是用于调整不同方向影响权重的参数（权重系数）。<math>\theta_1</math>是朝向感知到的质心的方向（不包括boid <math>i</math> 的质心），<math>\theta_2</math>是朝向最近boid的方向，<math>\theta_3</math>是朝向所有其他boid的平均航向（在20单位范围内），<math>s_i</math>表示第<math>i</math>个boid的速度，<math>a_4</math> 是用于调整速度变化的比例系数，决定了<math>d\bar{s}</math>对速度更新的影响程度，<math>d\bar{s}</math>是 boid <math>i</math> 的速度与20单位范围内其他boid的平均速度的差异，<math>r₁</math>和 <math>r₂</math>是范围 [-0.01, 0.01] 内的随机数。参数向量 <math>α</math>（所有 <math>α</math> ∈ [0,1]）决定了每个因素的相对贡献。环形距离按照标准方式计算，既可以跨越边界也可以不跨越边界。质心位置通过迭代计算以最小化每个boid与其他boid的环形距离（即不是与质心的平均距离，从而避免边界伪影）。
其中，<math>\alpha_i</math>表示第<math>i</math>只鸟的方向角。<math>\alpha_1，\alpha_2，\alpha_3</math>是用于调整不同方向影响权重的参数（权重系数）。<math>\theta_1</math>是朝向感知到的质心的方向（不包括boid <math>i</math> 的质心），<math>\theta_2</math>是朝向最近boid的方向，<math>\theta_3</math>是朝向所有其他boid的平均航向（在20单位范围内），<math>s_i</math>表示第<math>i</math>个boid的速度，<math>a_4</math> 是用于调整速度变化的比例系数，决定了<math>d\bar{s}</math>对速度更新的影响程度，<math>d\bar{s}</math>是 boid <math>i</math> 的速度与20单位范围内其他boid的平均速度的差异，<math>r₁</math>和 <math>r₂</math>是范围 [-0.01, 0.01] 内的随机数。参数向量 <math>α</math>（所有 <math>α</math> ∈ [0,1]）决定了每个因素的相对贡献。环形距离按照标准方式计算，既可以跨越边界也可以不跨越边界。质心位置通过迭代计算以最小化每个boid与其他boid的环形距离（即不是与质心的平均距离，从而避免边界伪影）。
这里测试了三种不同的模拟条件。(1)随机条件(R)。条件<math> R</math>（随机）产生了接近随机的boid行为<math>\alpha_R = \begin{bmatrix} 0.01 , 0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 \end{bmatrix} </math>。(2)低群集条件(L)。条件<math> L</math>（低）通过增强对速度匹配的强依赖性引发了较差的群集行为；在这种条件下的 boid 趋向于半刚性的队形移动<math> \alpha_L = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.1 , 0.6 , 0.6 \end{bmatrix} </math>。(3)高群集条件(H)。条件<math> H</math>（高）引发了引人注目的群集行为；参数集<math> \alpha_H = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.3 , 0.3 , 0.3 \end{bmatrix} </math>是手动选择的。每种条件下 boid 和质心轨迹的示例显示在下图中，左上图为不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性），其它图为在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和质心CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。尽管静态图像无法完全捕捉群集行为的动态特性，但很明显，条件<math> H</math> 下的 boid 轨迹比条件<math>L</math>和<math>R</math>下的更像群集行为。
这里测试了三种不同的模拟条件。(1)随机条件(<math> R</math>)。该条件产生了接近随机的boid行为<math>\alpha_R = \begin{bmatrix} 0.01 , 0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 \end{bmatrix} </math>。(2)低群集条件(<math> L</math>)。该条件通过增强对速度匹配的强依赖性引发了较差的群集行为；在这种条件下的 boid 趋向于半刚性的队形移动<math> \alpha_L = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.1 , 0.6 , 0.6 \end{bmatrix} </math>。(3)高群集条件(<math> H</math>)。该条件引发了引人注目的群集行为；参数集<math> \alpha_H = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.3 , 0.3 , 0.3 \end{bmatrix} </math>是手动选择的。每种条件下 boid 和质心轨迹的示例显示在下图中，左上图为不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性），其它图为在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和质心CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。尽管静态图像无法完全捕捉群集行为的动态特性，但很明显，条件<math> H</math> 下的 boid 轨迹比条件<math>L</math>和<math>R</math>下的更像群集行为。
[[文件:图2boid.png|无框|图2：boid群的质心（CM）的格兰杰涌现性。左上角：不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性）。其他面板：在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。|替代=|500x500像素]]
[[文件:图2boid.png|无框|图2：boid群的质心（CM）的格兰杰涌现性。左上角：不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性）。其他面板：在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。|替代=|500x500像素]]