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===值域、零空间和秩===

===值域、零空间和秩===

SVD还能为矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的[[值域]]和[[零空间]]提供明确表示。<math>\mathbf{M}</math> 零奇异值对应的右奇异向量张成（span）其零空间，非零奇异值对应的左奇异向量张成其值域。例如，在前面的[[#案例|例子]]中，零空间由 <math>\mathbf{V}^*</math> 的最后(n-r)列张成，值域由 <math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列张成，其中 <math>r</math> 是矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。

SVD还能为矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的[[值域]]和[[零空间]]提供明确表示。<math>\mathbf{M}</math> 零奇异值对应的右奇异向量张成（span）其零空间，非零奇异值对应的左奇异向量张成其值域。例如，在前面的[[#案例|例子]]中，零空间由 <math>\mathbf{V}^*</math> 的最后 <math>(n-r)</math>列张成，值域由 <math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列张成，其中 <math>r</math> 是矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。

因此，<math>\mathbf{M}</math> 的[[秩]]等于非零奇异值的个数，也就是 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中非零对角元素的个数。在数值线性代数中，我们可以用奇异值确定矩阵的有效秩，因为舍入误差（rounding error）可能导致秩亏矩阵（rank deficiency matrix）出现小但非零的奇异值。我们通常认为超过显著间隙的奇异值在数值上等同于零。

因此，<math>\mathbf{M}</math> 的[[秩]]等于非零奇异值的个数，也就是 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中非零对角元素的个数。在数值线性代数中，我们可以用奇异值确定矩阵的有效秩，因为舍入误差（rounding error）可能导致秩亏矩阵（rank deficiency matrix）出现小但非零的奇异值。我们通常认为超过显著间隙的奇异值在数值上等同于零。