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→几何意义：
</math>
</math>
则该映射在这些正交标准基下有一个简洁的描述：
<math>T(\mathbf{V}_i)=\sigma_i\mathbf{U}_i, \qquad i=1,\ldots,\min(m,n),</math>
<math>T(\mathbf{V}_i)=\sigma_i\mathbf{U}_i, \qquad i=1,\ldots,\min(m,n),</math>
其中<math>\sigma_i</math>是<math>\mathbf{\Sigma}</math>的第<math>i</math>个对角元素，当<math>i>\min(m,n)</math>时，<math>T(\mathbf{V}_i)=0</math>。
其中<math>\sigma_i</math>是<math>\mathbf{\Sigma}</math>的第<math>i</math>个对角元素，当<math>i>\min(m,n)</math>时，<math>T(\mathbf{V}_i)=0</math>。
所谓的'''SVD定理'''的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的正交标准基，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：