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矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。

矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。

定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>是半正定的厄米特矩阵。这种分解总是存在的，并且<math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。

定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>是半正定的厄米矩阵。这种分解总是存在的，并且<math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。