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一般的，称满足上述性质的矩阵为随机矩阵（stochastic matrix）。
一般的，称满足上述性质的矩阵为随机矩阵（stochastic matrix）。
===演化过程===
若给定<math>X_n(n\geq0)</math>的分布列
<math>\pi_n=(\pi_n(1),\pi_n(2),\ldots),</math>
其中，<math>\pi_n(i)=P(X_n=i),\ i\in S</math>。
根据全概率公式，<math>X_{n+1}</math>的分布列为
<math>\pi_{n+1}=\pi_{n}P.</math>
进一步，递推可得，
<math>\forall\ n\geq0,\ \ \pi_n=\pi_0P^n.</math>
注：<math>\pi</math>是一个行向量，上述方程为左手方程（left hand equation）。
若将等式左右两边同时进行转置，得
<math>\pi_{n}^{\rm T}=(P^{\rm T})^n\pi_{0}^{\rm T}.</math>
这是一个一阶线性齐次常微分方程。由递推关系，自然地会联想到，这个系统的长期行为本质上是一个特征值问题。
===细致平衡条件===
<math>\pi_i P_{ij}=\pi_jP_{ji},</math>
则
<math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P.</math>
证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}.</math>
注：<math>\pi_i P_{ij}</math>可以理解为状态<math>i$$向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送，那么细致平衡表示状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，