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→量化神经网络中的因果结构
然而，与作为相关性度量的标准MI不同<ref>Claude E. Shannon. A mathematical theory of communication. The Bell System Technical Journal, 27(July 1928): 379–423, 1948. ISSN 07246811. doi: 10.1145/584091.584093.</ref>，所有具有噪声注入的相互比特都必然是由该噪声引起的。此外，作为信息量最大的干预（就其熵而言），EI表示变量随机化产生的信息，这是科学解释的金标准<ref>R. A. Fisher. The Design of Experiments. The American Mathematical Monthly, 43(3):180, 1936. ISSN 00029890. doi: 10.2307/2300364.</ref>。它可以被认为是衡量函数的图像在多大程度上可以用于恢复预图像，并且与Kolmogorov复杂性和VC熵有重要关系<ref>David Balduzzi. Information, learning and falsification. arXiv preprint arXiv:1110.3592, 2011.</ref>。最值得注意的是，之前的研究表明，EI反映了因果关系的重要属性，捕捉了因果关系有多信息，例如它们的决定论（缺乏噪声）或简并性（缺乏唯一性）<ref name=":0" />。
然而，与作为相关性度量的标准MI不同<ref>Claude E. Shannon. A mathematical theory of communication. The Bell System Technical Journal, 27(July 1928): 379–423, 1948. ISSN 07246811. doi: 10.1145/584091.584093.</ref>，所有具有噪声注入的相互比特都必然是由该噪声引起的。此外，作为信息量最大的干预（就其熵而言），EI表示变量随机化产生的信息，这是科学解释的金标准<ref>R. A. Fisher. The Design of Experiments. The American Mathematical Monthly, 43(3):180, 1936. ISSN 00029890. doi: 10.2307/2300364.</ref>。它可以被认为是衡量函数的图像在多大程度上可以用于恢复预图像，并且与Kolmogorov复杂性和VC熵有重要关系<ref>David Balduzzi. Information, learning and falsification. arXiv preprint arXiv:1110.3592, 2011.</ref>。最值得注意的是，之前的研究表明，EI反映了因果关系的重要属性，捕捉了因果关系有多信息，例如它们的决定论（缺乏噪声）或简并性（缺乏唯一性）<ref name=":0" />。
干预（也称为“扰动”）是揭示因果关系的关键工具。前馈深度神经网络（DNN）的因果关系集合（也称为“因果结构”）由多个层、层之间的连接以及节点的激活函数组成。我们引入了一套工具，用于探索一个假设：DNN的泛化能力取决于其因果结构如何适应所训练的任务（所有代码已公开，详见 https://github.com/ei-research-group/deep-ei）。
为了研究这一问题，我们采用了一种广泛用于因果分析的正式方法，其中干预被表示为对系统中的某个变量应用**do(x)**操作符。通常，**do(x)**用于将一个变量设置为特定值，例如在有向无环图中，它可以用来对单个节点进行干预（例如，之前在DNN中已用于应用单个干预[26,27]）。然而，我们在这里引入了一种新的方法，即使用**干预分布**（Intervention Distribution, **ID**），它是对**do(x)**操作符的概率分布描述。简单来说，**ID**是对一系列干预的数学描述。当我们在一个网络层的输入上应用**ID**时，会导致输出节点产生某种效应分布（**ED**）[28]。
通过信息理论，我们可以量化这些因果关系的**信息量**。更强的因果关系意味着它们传递了更多的信息。我们使用**有效信息**（Effective Information, **EI**）来衡量因果关系的强度。具体来说，**EI**是干预分布（**ID**）和效应分布（**ED**）之间的互信息（Mutual Information, **MI**），当**ID**为最大熵分布（即**H^max**）时。换句话说，**EI**是通过向网络注入噪声（随机化）后计算的互信息。这种随机化有多个作用：首先，它确保了所有传递的互信息都是由噪声引起的，而不是简单的相关性；其次，作为最大熵的干预，**EI**反映了随机化变量所产生的信息量，这在科学中是因果关系的“黄金标准”；最后，**EI**可以被视为对输入状态空间的无偏采样，反映了网络如何处理分布外的数据。
此外，**EI**还可以被理解为衡量函数映射的“图像”如何帮助恢复“原像”，并且与Kolmogorov复杂度和VC熵有重要关系[31]。最重要的是，先前的研究表明，**EI**能够反映因果关系的重要特性，例如其确定性（缺乏噪声）或退化性（缺乏唯一性）[16]，而这些特性是标准互信息（MI）无法捕捉的。
首先，我们介绍了一种测量DNN中层间连接性的EIf的方法，捕捉一层对另一层的总联合效应。因此，我们从L1开始，L1是一组与L2有加权前馈连接的节点，我们假设所有节点都有一些激活函数，如sigmoid函数。为了测量EI，L1在最大熵<math>do(L_{1}=H^{\max})</math>处受到扰动，这意味着节点的所有激活都被迫进入随机选择的状态。<math>L_{1}=H^{\max}</math>最大限度地放大了L1中所有节点的同时和独立的最大熵扰动：
首先，我们介绍了一种测量DNN中层间连接性的EIf的方法，捕捉一层对另一层的总联合效应。因此，我们从L1开始，L1是一组与L2有加权前馈连接的节点，我们假设所有节点都有一些激活函数，如sigmoid函数。为了测量EI，L1在最大熵<math>do(L_{1}=H^{\max})</math>处受到扰动，这意味着节点的所有激活都被迫进入随机选择的状态。<math>L_{1}=H^{\max}</math>最大限度地放大了L1中所有节点的同时和独立的最大熵扰动：