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对于向量空间之间的线性映射<math>f : X \rightarrow Y</math>,其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间<math>Y / \text{im}(f)</math>。我们把余核的维数称为f的余秩。

余核与范畴论中的核是对偶的概念,这也是其名称的由来:核是定义域的子对象(它映射到定义域),而余核则是陪域的商对象(它从陪域出发映射)。

从直观上理解,当我们试图求解方程<math>f(x) = y</math>时,余核衡量的是y必须满足的约束条件,这些约束决定了方程是否有解,即解的障碍;而核则衡量的是在解存在的情况下,解的自由度。这一点在后文的直观解释部分会有详细说明。

更一般地,在某个范畴中(例如群之间的同态或希尔伯特空间之间的有界线性算子),态射<math>f : X \rightarrow Y</math>的余核是指一个对象Q和一个态射<math>q : Y \rightarrow Q</math>,使得复合<math>q f</math>是该范畴中的零态射,并且q关于这个性质是泛性的。通常我们默认了映射q的存在,直接称Q为f的余核。

在抽象代数的许多情况下,比如对于交换群、向量空间或模,同态<math>f : X \rightarrow Y</math>的余核就是Y除以f的像所得到的商。在拓扑的背景下,例如希尔伯特空间之间的有界线性算子,我们通常需要先取像的闭包,然后再做商空间。
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