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正规矩阵 (查看源代码)

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在数学中，如果一个复方阵<math>A</math>与其共轭转置<math>A^*</math>可交换，我们就称它为正规矩阵：

−

<math>A \text{normal} \iff A^A = AA^</math>

+

<math>A \text{normal} \iff A^*A = AA^*</math>

正规矩阵的概念可以推广到无限维赋范空间上的正规算子，以及C*-代数中的正规元素。正如矩阵的情况一样，在非交换的环境中，正规性意味着在可能的范围内保持着交换性。这使得正规算子和C*-代数中的正规元素更容易进行分析。

−

谱定理指出，一个矩阵是正规的，当且仅当它与某个对角矩阵酉相似，因此任何满足方程<math>A^A = AA^</math>的矩阵<math>A</math>都是可对角化的。（反之并不成立，因为可对角化矩阵可能具有非正交的特征子空间。）因此我们有：

+

谱定理指出，一个矩阵是正规的，当且仅当它与某个对角矩阵酉相似，因此任何满足方程<math>A^*A = AA^*</math>的矩阵<math>A</math>都是可对角化的。（反之并不成立，因为可对角化矩阵可能具有非正交的特征子空间。）因此我们有：

−

<math>A = UDU^</math>且<math>A^ = UD^U^</math>，其中<math>D</math>是一个对角矩阵，其对角线上的元素一般是复数。

+

<math>A = UDU^*</math>且<math>A^* = UD^*U^*</math>，其中<math>D</math>是一个对角矩阵，其对角线上的元素一般是复数。

在正规矩阵<math>A = UDV^*</math>的奇异值分解中，左右奇异向量之间，以及它们与对应特征向量之间，仅相差一个复数相位，这是因为在形成奇异值时必须将特征值的相位因子分离出来。

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