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→希尔伯特空间上的有界算子
这里 <math>T_f</math> 是 <math>L^2(X,\mu)</math> 上的 <math>f</math> 乘法算子。
这里 <math>T_f</math> 是 <math>L^2(X,\mu)</math> 上的 <math>f</math> 乘法算子。
我们可以通过模仿上述矩阵情况的线性代数论证来证明这一点。<math>\mathbf{V}T_f\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 的唯一正平方根，这由自伴算子（self-adjoint operators）的[[Borel函数演算]] (Borel functional calculus) 给出。<math>\mathbf{U}</math> 不必是酉的原因是，与有限维情况不同，给定具有非平凡核的等距算子 <math>U_1</math>，可能找不到合适的 <math>U_2</math> 使得：
我们可以通过模仿上述矩阵情况的线性代数论证来证明这一点。<math>\mathbf{V}T_f\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 的唯一正平方根，这由[[自伴算子]]（self-adjoint operators）的[[Borel函数演算]] (Borel functional calculus) 给出。<math>\mathbf{U}</math> 不必是酉的原因是，与有限维情况不同，给定具有非平凡核的等距算子 <math>U_1</math>，可能找不到合适的 <math>U_2</math> 使得：
<math>\begin{bmatrix}U_1\\U_2\end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix}U_1\\U_2\end{bmatrix}</math>