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==== 因果涌现度量 ====

==== 因果涌现度量 ====

基于有效信息的定义，结合对系统最优粗粒化分组，我们可以量化系统粗粒化后因果效应的变化，即度量[[因果涌现]]。下面给出了因果涌现框架的示意图。其中，横坐标表示时间（time），纵坐标表示尺度（scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是[[马尔科夫链]]，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。<math> EI </math>是[[有效信息]]的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。所谓的因果涌现，就是指当我们对微观态进行粗粒化的时候，宏观动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，宏观态与微观态的[[有效信息]]之差被定义为因果涌现的强度。

基于有效信息的定义，结合对系统最优粗粒化分组，我们可以量化系统粗粒化前后因果效应的变化，即度量[[因果涌现]]。下面给出了因果涌现框架的示意图。其中，横坐标表示时间（time），纵坐标表示尺度（scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是[[马尔科夫链]]，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。<math> EI </math>是[[有效信息]]的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。所谓的因果涌现，就是指当我们对微观态进行粗粒化的时候，宏观动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，宏观态与微观态的[[有效信息]]之差被定义为因果涌现的强度。

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</math>

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这里[math]P[/math]为微观状态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为：[math]N\times N[/math]，这里N为微观的状态数；而[math]P'[/math]为对[math]P[/math]做粗粒化操作之后得到的宏观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为[math]M\times M[/math]，其中[math]M<N[/math]为宏观状态数。

这里[math]P[/math]为微观状态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为：[math]N\times N[/math]，N为微观的状态数；而[math]P'[/math]为对[math]P[/math]做粗粒化操作之后得到的宏观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为[math]M\times M[/math]，其中[math]M<N[/math]为宏观状态数。

如果计算得出的CE>0，则称该系统发生了[[因果涌现]]，否则没有发生。有时，我们也会根据归一化的EI来计算[[因果涌现度量]]，即：

如果计算得出的CE>0，则称该系统发生了[[因果涌现]]，否则没有发生。有时，我们也会根据归一化的EI来计算[[因果涌现度量]]，即：