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[[马尔科夫链]]是一类特殊的随机过程，在给定当前状态下，对于未来状态的预测便不再依赖于过去状态。它可以看作一个n维的状态的序列<math>\{s^{(1)}, s^{(2)}, ... , s^{(t)}\}</math>，<math>s^{(t)} \in S</math>，<math>S = \{ s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵（满足每一行和为1的条件的方阵）<math>P</math>决定，即<math>p(s^{(t+1)}) = p(s^{(t)}) P</math>。<math>P</math>的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率，即<math>p_{ij} = p(s^{(t+1)} = j | s^{(t)} = i)</math>。比如，当<math>s^{(t)}</math>等于第一个状态的时候，<math>P</math>的第一行展示了<math>s^{(t+1)}</math>状态的概率。

[[马尔科夫链]]是一类特殊的随机过程，在给定当前状态下，对于未来状态的预测便不再依赖于过去状态。它可以看作一个n维的状态的序列<math>\{s^{(1)}, s^{(2)}, ... , s^{(t)}\}</math>，其中每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵（满足每一行和为1的条件的方阵）<math>P</math>决定，即<math>p(s^{(t+1)}) = p(s^{(t)}) P</math>。

在[[马尔科夫链的粗粒化]]过程中，我们有很多目标。

在[[马尔科夫链的粗粒化]]过程中，我们有很多目标。

==最初定义==

==最初定义==

为了严谨的介绍这一定义，我们会详细翻译文章中的部分。不感兴趣的读者可以跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'部分。

为了严谨的介绍这一定义，我们会详细翻译文章中的部分。不感兴趣的读者可以跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'部分。

首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻处于各微观状态的概率，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。

首先定义马尔科夫链为一个n维的状态分布的序列<math>\{s^{(1)}, s^{(2)}, ... , s^{(t)}\}</math>，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>,<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻处于各微观状态的概率，<math>s^{(t)} = \{ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_1)\}</math>。

给定一个任意状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

对于一个任意状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。

在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。