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宏观系统[math]S_M[/math]是由微观系统[math]S_m[/math]通过一定的映射方式[math]M: S_m \rightarrow S_M[/math]得到，宏观集[math]S_M[/math]的状态空间比微观集[math]S_m[/math]的小。粗粒化按操作对象可以分为基于状态空间、基于概率转移矩阵的粗粒化两种，详细描述见[[马尔科夫链的粗粒化]]。其中，状态空间的粗粒化又可以分为基于变量和基于状态进行两小类，本质都是对系统状态进行划分，区别在于基于变量操作对状态划分有一定约束，属于同一个变量的态被绑定在一起进行划分，不能分割开。

宏观系统[math]S_M[/math]是由微观系统[math]S_m[/math]通过一定的映射方式[math]M: S_m \rightarrow S_M[/math]得到，宏观集[math]S_M[/math]的状态空间比微观集[math]S_m[/math]的小。粗粒化按操作对象可以分为基于状态空间、基于概率转移矩阵的粗粒化两种，详细描述见[[马尔科夫链的粗粒化]]。其中，状态空间的粗粒化又可以分为基于变量和基于状态进行两小类，本质都是对系统状态进行划分，区别在于基于变量操作对状态划分有一定约束，属于同一个变量的态被绑定在一起进行划分，不能分割开。

1.'''空间粗粒化'''：针对微观元素变量进行粗粒化。以两个布尔元素为例，共有四种微观状态[math]S_m = \{00,01,10,11\}[/math]，现将这两个微观元素粗粒化一个宏观元素。微观状态按照[math]M:[[00,01,10] = off, [11] = on][/math]的规则归并，可以保持宏观元素的布尔属性。粗粒化的结果是一个宏观元素，和两个宏观状态[math]S_M = \{on, off\}[/math]。

1.'''空间粗粒化'''：针对微观元素变量进行粗粒化。以两个布尔元素为例，共有四种微观状态[math]S_m = \{00,01,10,11\}[/math]，现将这两个微观元素粗粒化一个宏观元素。微观状态按照[math]M:[[00,01,10] = off, [11] = on][/math]的规则归并，可以保持宏观元素的布尔属性。粗粒化的结果是一个宏观元素，和两个宏观状态[math]S_M = \{on, off\}[/math]。

张江等人进一步提出了[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>，该理论克服因果涌现理论中需要预先指定粗粒化策略的限制，通过对系统的马尔科夫转移矩阵进行奇异值分解，计算奇异值的<math>\alpha</math>次方之和<math>\Gamma_{\alpha}</math>，从而量化系统的近似动力学可逆性。<math>\Gamma_{\alpha}</math>与有效信息EI近似相关，使其能够用来衡量因果效应程度，实现无需粗粒化的因果涌现量化。理论进一步区分了“清晰的因果涌现”和“模糊的因果涌现”，提供了一种更加客观的方法来评估系统的因果涌现程度，但也存在计算复杂度较高等问题。

张江等人进一步提出了[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>，该理论克服因果涌现理论中需要预先指定粗粒化策略的限制，通过对系统的马尔科夫转移矩阵进行奇异值分解，计算奇异值的<math>\alpha</math>次方之和<math>\Gamma_{\alpha}</math>，从而量化系统的近似动力学可逆性。<math>\Gamma_{\alpha}</math>与有效信息EI近似相关，使其能够用来衡量因果效应程度，实现无需粗粒化的因果涌现量化。理论进一步区分了“清晰的因果涌现”和“模糊的因果涌现”，提供了一种更加客观的方法来评估系统的因果涌现程度，但也存在计算复杂度较高等问题。

=== 因果涌现度量 ===

=== 因果涌现度量 ===