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→有效信息
下面将引入有效信息这一关键指标，介绍如何基于该指标量化马尔科夫动力系统的因果效应。
下面将引入有效信息这一关键指标，介绍如何基于该指标量化马尔科夫动力系统的因果效应。
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是因果涌现理论中的核心概念，它可以用来度量一个马尔科夫动力学的因果效应强度。有效信息通常可以分解为两个部分：确定性（Determinism）和简并性（Degeneracy）。EI是因果机制的函数，即只取决于概率转移矩阵，而与其它因素无关，定义如下：
[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）是因果涌现理论中的核心概念，它可以用来度量一个马尔科夫动力学的因果效应强度，定义如下：
<math>
<math>
EI(P)\equiv I(Y;X|do(X\sim U))
\begin{aligned}
EI &= I(X_t,X_{t+1}|do(X_t\sim U(\mathcal{X})))=I(\tilde{X}_t,\tilde{X}_{t+1}) \\
&= \sum^N_{i=1}\sum^N_{j=1}Pr(\tilde{X}_t=i,\tilde{X}_{t+1}=j)\log \frac{Pr(\tilde{X}_t=i,\tilde{X}_{t+1}=j)}{Pr(\tilde{X}_t=i)Pr(\tilde{X}_{t+1}=j)}\\
&= \sum^N_{i=1}Pr(\tilde{X}_t=i)\sum^N_{j=1}Pr(\tilde{X}_{t+1}=j|\tilde{X}_t=i)\log \frac{Pr(\tilde{X}_{t+1}=j|\tilde{X}_t=i)}{Pr(\tilde{X}_{t+1}=j)}\\
&= \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\sum^N_{j=1}p_{ij}\log\frac{N\cdot p_{ij}}{\sum_{k=1}^N p_{kj}}
\end{aligned}
</math>
</math>
其中<math>\tilde{X}_t,\tilde{X}_{t+1}</math>分别为把t时刻的[math]X_t[/math][[干预]]为[[均匀分布]]后，前后两个时刻的状态。<math>p_{ij}</math>为第i个状态转移到第j个状态的转移概率。从这个式子，不难看出，EI仅仅是概率转移矩阵[math]P[/math]的函数。
=== 粗粒化映射 ===
=== 粗粒化映射 ===