更改

为了严谨地介绍这一定义，我们将详细翻译文章中的部分<ref name=":1" />。'''读者也可直接跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'的部分。'''

为了严谨地介绍这一定义，我们将详细翻译文章中的部分<ref name=":1" />。'''读者也可直接跳到更简洁直观的‘成块性的充分必要条件'的部分。'''

首先，我们形式化马尔科夫链的定义：设微观状态空间为有限集<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，系统在<math>t</math>时刻的状态分布向量<math>s^{(t)} = [ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_n) ]</math>，表示系统在各个微观状态的概率分布。

首先，我们形式化马尔科夫链的定义：设微观状态空间为有限集<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，系统在<math>t</math>时刻的状态分布向量<math>s^{(t)} = [ Pr(s(t) = s_1), Pr(s(t) = s_2), ... , Pr(s(t) = s_n) ]</math>，表示系统处于各个微观状态的概率。

对于一个给定的状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们可以将其视为宏观状态空间。微观状态空间<math>S</math> 和 宏观状态空间<math>A</math> 之间存在硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>，满足以下条件：1. <math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>包括若干个<math>s_i</math>；2. <math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>只能属于一个<math>A_i</math>；3. <math>S</math>中的每个元素都必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

对于一个给定的状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们可以将其视为宏观状态空间。微观状态空间<math>S</math> 和 宏观状态空间<math>A</math> 之间存在硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>，满足以下条件：1. <math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>包括若干个<math>s_i</math>；2. <math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>只能属于一个<math>A_i</math>；3. <math>S</math>中的每个元素都必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图1：矩阵粗粒化示例]]我们考虑马尔科夫过程的线性投影，因此<math>\Phi</math>是一个<math>\{0,1\}^{n \times r}</math>的投影矩阵。对于任意 <math>\Phi</math>，我们可以定义一个'''简化过程（lumped process）'''，<math>\{A^{(t)}: A^{(t)} = s^{(t)} \Phi \}</math>，即通过投影矩阵<math>\Phi</math>将微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到宏观状态空间<math>A</math>上。

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图1：矩阵粗粒化示例]]我们考虑马尔科夫过程的线性投影，因此<math>\Phi</math>是一个<math>\{0,1\}^{n \times r}</math>的投影矩阵。对于任意 <math>\Phi</math>，我们可以定义一个'''简化过程（lumped process）'''，<math>\{A^{(t)}: A^{(t)} = s^{(t)} \Phi \}</math>，即通过投影矩阵<math>\Phi</math>将微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到宏观状态空间<math>A</math>上。

例如图（1）所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3  \}</math>将被压缩为<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2  \}</math>。

例如图（1）所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3  \}</math>在被分组后的状态上就表现为序列：<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2  \}</math>。

'''''定义1'''''：'''简化过程 lumped process'''

'''''定义1'''''：'''简化过程 lumped process'''

'''简化过程（lumped process），是微观轨迹在宏观空间上的投影。投影后的轨迹<math>A^{(t)}</math>的状态转移概率可以写作下列公式：'''

'''简化过程（lumped process），是微观轨迹在聚类后的状态空间上的投影。对于投影后的轨迹<math>A^{(t)}</math>，我们可以定义三种不同概率：'''

{{NumBlk|:|

{{NumBlk|:|

<math>

<math>

Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i]

Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i],

</math>

</math>

|{{EquationRef|1.1}}}}

|{{EquationRef|1.1}}}}

</math>

</math>

|{{EquationRef|1.3}}}}

|{{EquationRef|1.3}}}}

'''其中，<math> \pi </math>为初始微观状态。'''

'''其中，<math> \pi </math>为初始微观状态。'''

# 式子1.1：初始宏观分布：系统在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的概率；

# 式子1.1：初始宏观状态分布：系统在<math>t=0</math>，在微观状态分布为<math> \pi </math>的条件下，任意微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的概率；

# 式子1.2：单步转移：已知在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>，那么在时间<math>t=1</math>的微观状态<math>s^{(1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_j</math>的概率；

# 式子1.2：单步转移概率：已知微观状态分布为<math> \pi </math>，并且系统在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的条件下，那么在时间<math>t=1</math>时刻，系统的微观状态<math>s^{(1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_j</math>的概率；

# 式子1.3：历史依赖转移：已知历史微观状态<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>对应的宏观状态，那么在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；

# 式子1.3：历史依赖转移概率：已知微观状态分布为<math> \pi </math>，并且已知系统的历史微观状态<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>分别对应某个宏观状态<math>\{A_i, A_j,\cdots,A_k\}</math>，那么系统在时间<math>t</math>，它的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；

我们看到从<math>s^{(t)}</math>到<math>A^{(t+1)}</math>存在 微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 的这一条路径（细心的读者可能会发现在图中还有另一条路径，我们会在后面讨论），而式子（1）描述的简化过程正是这条路径，经过微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>然后进行聚合<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}=\pi</math>开始，走了<math>t</math>步微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。需要注意的是，虽然任意一个状态划分<math>\Phi</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都和微观过程保持一致。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（1）中微观状态的宏观投影，如图（2）中的第二个例子，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''

我们看到从<math>s^{(t)}</math>到<math>A^{(t+1)}</math>存在"微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态"的这一条路径（细心的读者可能会发现在图中还有另一条路径，我们会在后面讨论），而式子（1）描述的简化过程正是这条路径，经过微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>然后进行聚合<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}=\pi</math>开始，走了<math>t</math>步微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。需要注意的是，虽然任意一个状态划分<math>\Phi</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都和微观过程保持一致。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（1）中微观状态的宏观投影，如图（2）中的第二个例子，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''

其中，我们把‘成功’的情况定义为成块的划分，而‘失败’的情况则是不成块的。

其中，我们把‘成功’的情况定义为成块的划分，而‘失败’的情况则是不成块的。