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→变量角度的因果涌现
== 变量角度的因果涌现 ==
== 变量角度的因果涌现 ==
下面从变量角度，分别给出了空间、时间和时空因果涌现的布尔实例，从微观动力学、粗粒化映射和宏观动力学三个方面进行描述和分析。注：[math]S_m[/math]表示微观系统；[math]S_M[/math]表示宏观系统。微观变量是布尔值且用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]标记，宏观变量用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]标记。每个微观变量的状态标记为[math]\{1,0\}[/math]，宏观变量的状态标记为{“on”，“off”,“bursting”，“quiet”…}。
下面从变量角度，分别给出了空间、时间和时空因果涌现的布尔实例，从微观动力学、粗粒化映射和宏观动力学三个方面进行描述和分析。注：[math]S_m[/math]表示微观系统的变量组成；[math]S_M[/math]表示宏观系统的变量组成。微观变量是布尔值且用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]标记，宏观变量用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]标记。每个微观变量的状态标记为[math]\{1,0\}[/math]，宏观变量的状态标记为{“on”，“off”,“bursting”，“quiet”…}。微观动力学对应的马尔科夫矩阵为[math]P_m[/math]，宏观动力学对应的马尔科夫矩阵为[math]P_M[/math]。
'''微观动力学'''：系统由四个布尔变量组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，其中一个组中的每个变量[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个变量[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A中间表格为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个变量有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由变量单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，满足概率之和为1。
'''微观动力学'''：系统由四个布尔变量组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，其中一个组中的每个变量[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个变量[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A中间表格为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个变量有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由变量单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49(0.7x0.7)，0.21(0.7x0.3)，0.21(0.3x0.7)，0.09(0.3x0.3)，满足概率之和为1。
考虑到每个变量都有两个可能状态，则总共有[math]2^4=16[/math]个微观态。接着上面的例子，假设[math]t[/math]时刻CD = {cd}，而且AB = {ab}（这里a,b,c,d指代变量状态，可取0或1），可以按照上述机制分别计算[math]t+1[/math]时刻AB和CD的状态分布{a'b'}和{c'd'}，又因为AB和CD的状态在同一时刻是互相独立的，那么系统[math]t+1[/math]时刻状态取{a'b'c'd'}的概率等于两组变量分别{a'b'}和{c'd'}的概率相乘，也就可以得到状态转移之间的关系。避免先验信息和其他因果关系的影响，我们将[math]t[/math]时刻系统以等概率设置为所有可能的微观态，即每种处于微观态的概率都为1/16，可以根据上述计算方式得到微观态的概率转移矩阵 16 × 16 [math]S_m[/math]。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = Det(S_m) - Deg(S_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = EI(S_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]。
考虑到每个变量都有两个可能状态，则总共有[math]2^4=16[/math]个微观态。接着上面的例子，假设[math]t[/math]时刻CD = {cd}，而且AB = {ab}（这里a,b,c,d指代变量状态，可取0或1），可以按照上述机制分别计算[math]t+1[/math]时刻AB和CD的状态分布{a'b'}和{c'd'}，又因为AB和CD的状态在同一时刻是互相独立的，那么系统[math]t+1[/math]时刻状态取{a'b'c'd'}的概率等于两组变量分别{a'b'}和{c'd'}的概率相乘，也就可以得到状态转移之间的关系。避免先验信息和其他因果关系的影响，我们将[math]t[/math]时刻系统以等概率设置为所有可能的微观态，即每种处于微观态的概率都为1/16，可以根据上述计算方式得到微观态的概率转移矩阵 16 × 16 [math]P_m[/math]。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(P_m) = Det(P_m) - Deg(P_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_m) = EI(P_m)/ \log N = 1.15/4 = 0.29[/math]。
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'''粗粒化映射'''：从上图TPM可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个元素被分为了两组，每组都接受另一组元素的输入且响应机制相同，同组元素的状态之间不会互相影响，因此同组元素之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math]。考虑微观状态的转移机制，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此每个宏观元素状态可以映射为{"off" ,"on"}两种。
'''粗粒化映射'''：从上图TPM可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个元素被分为了两组，每组都接受另一组元素的输入且响应机制相同，同组元素的状态之间不会互相影响，因此同组元素之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math]。考虑微观状态的转移机制，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此每个宏观元素状态可以映射为{"off" ,"on"}两种。
'''宏观动力学'''：粗粒化后，现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观态，根据宏观态之间的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 概率转移矩阵。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(S_M) = Det(S_M) - Deg(S_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。
'''宏观动力学'''：粗粒化后，现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观态，根据宏观态之间的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]P_M[/math] 概率转移矩阵。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(P_M) = Det(P_M) - Deg(P_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(P_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。
本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(S_m) = 0.34[/math]; [math]Det(S_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(S_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(S_M) = 0.006[/math]）。
本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(P_m) = 0.34[/math]; [math]Det(P_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(P_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(P_M) = 0.006[/math]）。
[[文件:Spatial1-B.png|无框|800x400像素]]
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'''粗粒化映射'''：同上例，根据微观机制的分组，接受相同输入的元素可以被分为同一组，因此可以分为3个宏观元素。根据机制的同类性，{[00,01,10], [11]}可归并为宏观态{"off" ,"on"}，输入宏观态为”off“时，宏观元素响应也为”off“，反之亦然。确定性AND门映射为宏观COPY门，即宏观元素完全复制输入元素的状态。
'''粗粒化映射'''：同上例，根据微观机制的分组，接受相同输入的元素可以被分为同一组，因此可以分为3个宏观元素。根据机制的同类性，{[00,01,10], [11]}可归并为宏观态{"off" ,"on"}，输入宏观态为”off“时，宏观元素响应也为”off“，反之亦然。确定性AND门映射为宏观COPY门，即宏观元素完全复制输入元素的状态。
'''宏观动力学'''：宏观尺度的概率转移矩阵下图所示，可得到宏观[math]EI(S_M) = 3 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math]，[math]CE = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.57 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。进一步拆解分析可知，微观和宏观机制都是完全确定性的，但粗粒化后宏观简并性明显减小 [math]\Delta Deg = -0.6[/math]，对应图中不同行的状态下一时刻转移至不同状态。在本实例中粗粒化映射抵消简并性主导了因果涌现的发生。
'''宏观动力学'''：宏观尺度的概率转移矩阵下图所示，可得到宏观[math]EI(P_M) = 3 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 1[/math]，[math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.57 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。进一步拆解分析可知，微观和宏观机制都是完全确定性的，但粗粒化后宏观简并性明显减小 [math]\Delta Deg = -0.6[/math]，对应图中不同行的状态下一时刻转移至不同状态。在本实例中粗粒化映射抵消简并性主导了因果涌现的发生。
[[文件:Spatial2-B.png|无框|600x400像素]]
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=== 时间因果涌现 ===
=== 时间因果涌现 ===
对时间进行粗粒化映射也会有涌现现象发生，具体形式为：将微观时间步([math]t_x[/math]) 粗粒化为宏观时间步([math]T_x[/math])。下面对一个时间因果涌现实例进行分析：
'''微观机制'''：微观系统有A和B两个元素，元素[math]t[/math]和[math]t+1[/math]的状态由另一元素[math]t-2[/math]和[math]t-1[/math]时刻的状态决定，即遵循二阶马尔可夫机制(图A)。具体的状态决定机制如图C所示，当B前两时刻（[math]t-2[/math]，[math]t-1[/math]）状态为{11}时，A当前和后一时刻（[math]t[/math]，[math]t+1[/math]）状态可确定为{11}；当B前两时刻状态为其余三种情况{00,01,10}，A当前和后一时刻状态会以等概率出现这三种情况中的一种。基于一个微观时间步分析，得到 [[math]EI(S_m) = 0.16 \text{ bits}[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因果相互作用较弱，因为忽略了系统二阶性质。进行两个微观时间步的计算分析，可以得到 [math]EI(S_m) = 1.38 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。
'''微观动力学'''：系统有A和B两个变量，每个变量[math]t[/math]和[math]t+1[/math]的状态由另一变量[math]t-2[/math]和[math]t-1[/math]时刻的状态决定，即遵循二阶马尔可夫机制(图A)。具体的状态决定机制如图C所示，当B前两时刻（[math]t-2[/math]，[math]t-1[/math]）状态为{11}时，A当前和后一时刻（[math]t[/math]，[math]t+1[/math]）状态可确定为{11}；当B前两时刻状态为其余三种情况{00,01,10}，A当前和后一时刻状态会以等概率出现这三种情况中的一种。基于一个微观时间步分析，得到 [[math]EI(S_m) = 0.16 \text{ bits}[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因果相互作用较弱，因为忽略了系统二阶性质。进行两个微观时间步的计算分析，可以得到 [math]EI(S_m) = 1.38 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。
[[文件:Temporal-A.png|无框|居左|600x400像素]]
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'''粗粒化映射'''：根据二阶马尔科夫性质，将微观状态的时间步分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图D)；同空间因果涌现实例，图C概率转移矩阵中状态间明显的界限，可以将{[00,01,10],[11]}分别映射为{"off","on"}两个宏观状态。
'''粗粒化映射'''：根据二阶马尔科夫性质，将微观态的时间步分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图D)；同空间因果涌现实例，图C概率转移矩阵中状态间明显的界限，可以将{[00,01,10],[11]}分别映射为{"off","on"}两个宏观状态。
'''宏观尺度'''：时间步粗粒化后得到的宏观机制如图E所示，此时机制为完全确定和非简并的，即宏观时间尺度下 [math]EI(S_M) = 2 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.62 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。
'''宏观动力学'''：时间步粗粒化后得到的宏观机制如图E所示，此时机制为完全确定和非简并的，即宏观时间尺度下 [math]EI(P_M) = 2 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 1[/math], [math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.62 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。
[[文件:Temporal-B.png|无框|居左|600x400像素]]
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因果涌现现象还可以基于对空间、时间同时进行粗粒化产生，下面对图中实例进行具体分析：
因果涌现现象还可以基于对空间、时间同时进行粗粒化产生，下面对图中实例进行具体分析：
'''微观机制：'''
'''微观动力学：'''
* 时间机制：所有微观元素也遵循二阶马尔可夫机制，整合前两个时间步（[math]t_{-2}[/math]，[math]t_{-1}[/math]）的输入，决定后两个时间步（[math]t_0[/math], [math]t_{+1}[/math])的状态。所有微观元素自发活动（0/1），1为发放状态，每个元素具有非均匀的自发放概率：[math]p(A/D/G) = 0.45[/math]；[math]p(B/E/H) = 0.5[/math]；[math]p(C/F/I) = 0.55[/math]。
* 动力学机制：所有微观变量也遵循二阶马尔可夫机制，整合前两个时间步（[math]t_{-2}[/math]，[math]t_{-1}[/math]）的输入，决定后两个时间步（[math]t_0[/math], [math]t_{+1}[/math])的状态。所有微观变量自发活动（0/1），1为发放状态，每个变量具有非均匀的自发放概率：[math]p(A/D/G) = 0.45[/math]；[math]p(B/E/H) = 0.5[/math]；[math]p(C/F/I) = 0.55[/math]。
* 组机制：所有元素被划分为三组[math]{ABC, DEF, GHI}[/math]，每个元素都接收组内（也包含元素自身）和组间元素的输入。在每组内，如果两个时间步内组内输入之和[math]\sum(intra) = 0[/math]，接下来的两个时间步所有元素保持为0。然而，如果在两个时间步中，另外有一组（或者两组）元素提供的组间输入之和[math]\sum(inter) = 6[/math]，且该组内输入之和不为0时，则在接下来的两个时间步中，自发放概率提高0.5；否则，还是遵循自发活动的发放概率。
* 变量分组：所有变量被划分为三组[math]{ABC, DEF, GHI}[/math]，每个变量都接收组内（也包含该变量自身）和组间变量的输入。在每组内，如果两个时间步内组内输入之和[math]\sum(intra) = 0[/math]，接下来的两个时间步所有变量保持为0。然而，如果在两个时间步中，另外有一组（或者两组）变量提供的组间输入之和[math]\sum(inter) = 6[/math]，且该组内输入之和不为0时，则在接下来的两个时间步中，自发放概率提高0.5；否则，还是遵循自发活动的发放概率。
微观动力学对应的 [math]EI(P_m) = 0.59 \text{ bits}[/math]；[math]Eff(P_m) = 0.033[/math]。
'''粗粒化映射'''：根据二阶马尔科夫性质，将两个微观时间步长整合为一个宏观时间步长，对应时间粗粒化映射；根据组机制，三组神经元在空间上映射为三个宏观成分，对应空间粗粒化映射。从上述组机制中可以看出，一组元素全为0和全为1会影响发放概率，这两种情况之外都遵循自发活动；因此，每个宏观成分可以归并出三种状态：全为0、全为1，以及介于二者之间的状态。
'''粗粒化映射'''：根据二阶马尔科夫性质，将两个微观时间步长整合为一个宏观时间步长，对应时间粗粒化映射；根据组机制，三组变量在空间上映射为三个宏观成分，对应空间粗粒化映射。从上述组机制中可以看出，一组元素全为0和全为1会影响发放概率，这两种情况之外都遵循自发活动；因此，每个宏观变量可以归并出三种状态：全为0、全为1，以及介于二者之间的所有状态。
'''宏观尺度'''：时空粗粒化后的系统具有比微观更高的[math]EI(S_M) = 3.51 \text{ bits}[/math]，和[math]Eff(S_M) = 0.74[/math]，[math]CE(S) = 2.92 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。粗粒化过后系统确定性的增加，增加程度远超过简并性的增加。
'''宏观动力学'''：时空粗粒化后的宏观动力学具有比微观动力学更高的[math]EI(P_M) = 3.51 \text{ bits}[/math]，和[math]Eff(P_M) = 0.74[/math]，[math]CE = 2.92 \text{ bits}[/math]，因果涌现发生。粗粒化过后系统确定性的增加，增加程度远超过简并性的增加。
[[文件:时空涌现.png|无框|居左|600x400像素]]
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注：本实例可对应真实神经元活动上的解释。神经元可以理解为图中的微观变量，而粗粒化后的宏观变量可理解为神经元组成的“微柱”（minicolumn），对应有三种状态:'''“抑制态”'''，微柱中神经元均在t时刻静默，对应组内元素状态全为0；'''“感受态”'''，部分神经元在t时刻放电，对应部分为1；'''“爆发态”'''：所有神经元均在t时刻放电，对应全为1。宏观的因果相互作用可以解释为，如果一个宏观“微柱”处于“抑制态”，那么只有接收到一次其他微柱的”爆发“式发放才能转换到“感受态”，极小可能转换为“爆发态”；否则，它将一直保持“抑制态”。
== 由布尔网络生成TPM的代码 ==
== 由布尔网络生成TPM的代码 ==