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马尔科夫链的成块性 (查看源代码)

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为理解成块性(lumpability)的重要性，我们通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷。给定图中的马尔科夫链，我们尝试将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。

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[[文件:非一致性示例.png|居中|700像素|图1：不满足一致性马尔科夫链示例]]

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[[文件:非一致性示例.png|缩略图|居中|700像素|图1：不满足一致性马尔科夫链示例]]

当我们构建粗粒化后的<math>2\times 2</math>的宏观马尔科夫链<math>P'</math>时，分组A到分组B的概率应满足：从<math>A</math>中'''任一微观态出发'''，转移到<math>B</math>的总概率必须相同。

第43行：第43行：

对于一个给定的状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们可以将其视为宏观状态空间。微观状态空间<math>S</math> 和宏观状态空间<math>A</math> 之间存在硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>，满足以下条件：1. <math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>包括若干个<math>s_i</math>；2. <math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>只能属于一个<math>A_i</math>；3. <math>S</math>中的每个元素都必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

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[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|居中|700像素|图2：矩阵粗粒化示例]]我们考虑马尔科夫过程的线性投影，因此<math>\Phi</math>是一个<math>\{0,1\}^{n \times r}</math>的投影矩阵。对于任意 <math>\Phi</math>，我们可以定义一个'''简化过程（lumped process）'''，<math>\{A^{(t)}: A^{(t)} = s^{(t)} \Phi \}</math>，即通过投影矩阵<math>\Phi</math>将微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到宏观状态空间<math>A</math>上。

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[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|居中|700像素|图2：矩阵粗粒化示例]]我们考虑马尔科夫过程的线性投影，因此<math>\Phi</math>是一个<math>\{0,1\}^{n \times r}</math>的投影矩阵。对于任意 <math>\Phi</math>，我们可以定义一个'''简化过程（lumped process）'''，<math>\{A^{(t)}: A^{(t)} = s^{(t)} \Phi \}</math>，即通过投影矩阵<math>\Phi</math>将微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到宏观状态空间<math>A</math>上。

例如图（2）所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>\{ s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3 \}</math>在被分组后的状态上就表现为序列：<math>\{ A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2 \}</math>。

Liangjh

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