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'''充分性部分的证明：'''

'''充分性部分的证明：'''

充分性是指，如果一个马尔可夫链的某个状态划分 <math>A</math>满足这个条件，那么它就是成块的。我们需要证明的是，如果上述条件满足，那么马尔可夫性成立，即对于任何给定的<math>t</math>，转移概率<math>Pr \left [ s^{(t)} \in A_j | s^{(t-1)} \in A_i, \ldots, s^{(1)} \in A_k, s^{(0)} \in A_m \right ]</math>只依赖于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>，而不依赖于<math>A_i</math>中的具体状态<math>是s^{(t-1)}</math>或是<math>t-1</math>前的宏观状态。

充分性是指，如果一个马尔可夫链的某个状态划分 <math>A</math>满足这个条件，那么它就是成块的。我们需要证明的是，如果上述条件满足，那么马尔可夫性成立，即对于任何给定的<math>t</math>，转移概率<math>Pr \left [ s^{(t)} \in A_j | s^{(t-1)} \in A_i, \ldots, s^{(1)} \in A_k, s^{(0)} \in A_m \right ]</math>只依赖于<math>t-1</math>时刻的宏观态<math>A_i</math>和<math>t</math>时刻的宏观态<math>A_j</math>，而不依赖于<math>t-1</math>的<math>A_i</math>中的具体状态<math>是s^{(t-1)}</math>，或是<math>t-1</math>前的宏观状态。

条件要求所有<math>s_k \in A_i</math>，转移概率<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = p_{A_i \rightarrow A_j}</math>，这意味着无论我们从<math>A_i</math>中的哪个微观状态开始，转移到<math>A_j</math>的概率都是相同的。

这个条件要求<math>t-1</math>时刻属于<math>A_i</math>的任一微观态<math>s_k</math>，转移概率<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = p_{A_i \rightarrow A_j}</math>，这意味着无论我们从<math>A_i</math>中的哪个微观状态开始，转移到<math>A_j</math>的概率都是相同的。

因此，当我们已知<math>t-1</math>的宏观状态是<math>A_i</math>时，计算<math>t</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率时，我们只需要使用<math>p_{A_i \rightarrow A_j}</math>，而不需要关心<math>A_i</math>中的具体状态。

因此，当我们已知<math>t-1</math>的宏观状态是<math>A_i</math>时，计算<math>t</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率时，我们只需要使用<math>p_{A_i \rightarrow A_j}</math>，而不需要关心<math>A_i</math>中的具体状态。

====正例====

====正例====

我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们<math>\{s_1, s_2, s_3\}</math>分在一组<math>A_1</math>，并把状态<math>s_4</math>分在另外一组<math>A_2</math>，看起来像是一个合理的正例。接下来我们来计算一下。

我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们<math>\{s_1, s_2, s_3\}</math>分在一组<math>A_1</math>，并把状态<math>s_4</math>分在另外一组<math>A_2</math>，是一个成块的划分。接下来我们来计算一下。

第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>

第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math>

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math>

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