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→连续系统
[[文件:增长布朗.jpg|替代=|800x800px|增长模型和布朗运动相关数值模拟结果]]
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===SIR模型===
在NIS+词条中的SIR模型在这里也可以通过可逆性与SVD分解计算因果涌现并研究其底层产生涌现的机理。现实中的大多数系统都无法获得精确的动态模型来计算因果涌现的解析解。然而，我们可以通过观察到的时间序列数据训练神经网络来获得近似动力学。我们用神经网络（NN）在易感-感染-恢复（SIR）模型生成的训练时间序列数据上获得的因果涌现现象，模型有两个自由度，如下所示
<blockquote>
<math>
\begin{aligned}
\begin{cases}
\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\beta SI, \\
\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta SI - \gamma I, \\
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}= \gamma I,
\end{cases}
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
我们可以采取和增长模型相同的数据处理方法，<math>x_3,x_4</math>直接复制了前两个维度的状态，得到<math>x=(S,I,S,I)</math>，之后我们可以将模型离散化，即
<blockquote>
<math>
x_{t+\Delta t}\approx x_t+\Delta x_t\sim\mathcal{N}(x_t+f(x_t)\Delta t,\Delta t\Sigma)
</math>
</blockquote>
从图h中可以看出，<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>有两个较大的奇异值，<math>r_\epsilon=2</math>，因为<math>\epsilo=5</math>。在模型训练中，当训练周期为50000时，我们得到因果涌现的值为<math>\Delta\Gamma\alpha（\epsilon）=0.8685</math>，如图j所示。
=参考文献=
=参考文献=