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→随机矩阵与Q矩阵的等价关系
====随机矩阵与Q矩阵的等价关系====
====随机矩阵与Q矩阵的等价关系====
上一小节我们讨论的是矩阵指数的普遍性质，这一小节我们来看看<math>Q</math>的行为。先回忆一下，一个矩阵<math>P=(p_{ij}:i,j\in I)</math>是随机矩阵，当它满足：
# <math>0\leq p_{ij}<\infty ,\forall i,j</math>
# <math>\sum_{j\in I}p_{ij}=1 ,\forall i</math>
我们可以证明定理：一个定义在有限集合<math>I</math>上的矩阵<math>Q</math>是一个<math>Q</math>矩阵，当且仅当<math>P=e^{tQ}</math>对任意<math>t\geq 0</math>都是一个随机矩阵。
如果随机矩阵<math>P</math>可以用一个<math>Q</math>矩阵的矩阵指数表示成<math>P=e^Q</math>，我们可就以填补<math>P</math>所决定的随机过程的“空隙”。我们固定一个非零整数<math>m</math>,并令<math>(X^m_n)_{n\geq 0}</math>为离散时间马尔科夫链Markov(<math>\lambda,e^{Q/m}</math>)，再令<math>X_{n/m}=X^m_n</math>，就得到了一个具有时间参数为<math>\{n/m:n=0,1,2,…\}</math>的马尔科夫链。按我们的标记，当<math>m=1</math>，得到的<math>X_n</math>就是原来的离散时间马尔可夫链Markov（<math>\lambda,P</math>）。由<math>(e^{Q/m})^m=e^Q=P</math>，当我们在<math>X_{n/m}</math>中对时间参数取样为整数时，就得到了Markov（<math>\lambda,P</math>）。当m取得足够大的时候，时间参数就会被细分得足够地小，最终我们可以得到一个连续马尔科夫链<math>(X_t)_{t\geq 0}</math>，当对<math>t</math>取样为整数时，就回到了离散马尔科夫链Markov（<math>\lambda,P</math>）。
==参考文献==
==参考文献==
<references />
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