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→离散时间马尔科夫链的度量
<math>C=\max_{U_X}I(X;Y)=\max_{U_X} H(Y)-H(Y|X),</math>
<math>C=\max_{U_X}I(X;Y)=\max_{U_X} H(Y)-H(Y|X),</math>
其中，<math>U_X</math>为均匀分布。详细内容参见词条[[有效信息]]。
其中，<math>U_X</math>为均匀分布。
通过粗粒化操作，可以得到宏观尺度下的转移矩阵<math>P_M</math>，并计算有效信息<math>{\rm EI}(P_M)</math>。进一步，可以通过宏观与微观尺度下的动力学有效信息差值来度量马尔科夫动力学的因果效应，并称这个差值
<math>{\rm CE}={\rm EI}(P_M)−{\rm EI}(P_m),</math>
为有效信息增益。如果存在某个宏观尺度，使得有效信息增益大于0，则认为该系统发生了因果涌现。详细内容参见词条[[有效信息]]。
====转移概率矩阵的动力学可逆性====
易知，当且仅当<math>P</math>为置换矩阵，有效信息的值最大。并且，置换矩阵的逆矩阵也是一个置换矩阵，同时也是一个转移概率矩阵，即<math>P</math>是可逆矩阵且<math>P^{−1}</math>也是一个转移概率矩阵，则称这类转移概率矩阵是严格动力学可逆的。但是，只有置换矩阵满足严格动力学可逆。所以，需要定义一个可以度量接近动力学可逆程度的指标。
通过观察可以发现置换矩阵具有两方面特性：一方面，它是满秩矩阵；另一方面，它每行或列均为独热向量，具有稀疏性。这两方面都可以通过转移概率矩阵<math>P</math>的奇异值进行度量。考虑一个<math>N</math>阶转移概率矩阵<math>P</math>，设其奇异值为<math>\sigma_1\geq\sigma_2\geq\ldots\ge\sigma_N\geq0</math>，则<math>P</math>的秩有如下表示
<math>r=\sum_{i=1}^N\sigma_i^0,</math>
并且<math>P</math>的稀疏性可以通过矩阵的Frobenius范数度量，
<math>\|P\|_F^2=\sum_{i=1}^N\sigma_i^2</math>。
基于上述特性，张江团队定义转移概率矩阵<math>P</math>的<math>\alpha\in(0,2)</math>阶
<math>\Gamma_\alpha=\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha</math>
作为动力学可逆性的近似<ref name=":6">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。在应用中，常采用<math>\Gamma_{\alpha=1}</math>即转移概率矩阵的核范数来度量接近动力学可逆的程度。
基于<math>\Gamma_{\alpha}</math>，给出了清晰因果涌现和模糊因果涌现程度的计算方法。值得注意的是，它们均与粗粒化方法无关。详细内容参见词条[[基于可逆性的因果涌现理论]]。
==连续时间马尔科夫链==
==连续时间马尔科夫链==