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马尔科夫链 (查看源代码)

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进一步，若<math>i\to j</math>且<math>j\to i</math>，则称状态<math>i</math>和<math>j</math>互通，记为<math>i\leftrightarrow j</math>。易知，互通是一种等价关系。那么，可以将互通的状态归为一类，且任一状态仅属于一个类。特别的，若马尔科夫链中只存在一个类，则称它是'''不可约的（irreducible）'''；否则，称为是'''可约的（reducible）'''。

−

~~====成块性与粗粒化====~~

−

~~可约是基于局部连通性进行两两判断从而对状态空间进行分类，但有时这个划分粒度仍很粗糙，即连通的状态间存在其他性质或结构可以继续划分。~~

−

~~例如，考虑如下马尔科夫链，~~

−

~~<math>~~

−

~~P=\begin{bmatrix}~~

−

~~0.3&0.3&0.3&0.1\\~~

−

~~0.2&0.4&0.2&0.2\\~~

−

~~0&0.2&0.3&0.5\\~~

−

~~0.2&0&0.2&0.6~~

−

~~\end{bmatrix},~~

−

~~</math>~~

−

易知，这个马尔科夫链是不可约的。此外，无论从状态1还是2出发，下一时刻转移至状态1或状态2的概率均为0.6，转移至其他两个状态3和4的概率均为0.4。另一方面，状态3和状态4也是如此。那么，基于这样的转移机制，可以将状态1和2划分为1组，状态3和状态4划分为一组，形成两个宏观状态，得到一个新的两状态的马尔科夫转移矩阵

−

~~<math>~~

−

~~P=\begin{bmatrix}~~

−

~~0.6&0.4\\~~

−

~~0.2&0.8\\~~

−

~~\end{bmatrix},~~

−

~~</math>~~

−

即同属于一个宏观状态的原始微观状态转移至宏观状态的机制是相同的，这种性质被称为成块性（Lumpability）。定义<math>A = \{A_i \}</math>为宏观态，成块性的数学表达式为：

−

~~<math>~~

−

~~\forall A_i, A_j, \forall m, n \in A_i, \sum_{k \in A_j} p_{mk} = \sum_{k \in A_j} p_{nk}~~

−

~~</math>~~

−

~~详细介绍参见词条[[马尔科夫链的成块性]]。~~

−

一般的，在状态分类的基础上，对分类后状态空间重新定义马尔可夫转移矩阵的过程被称为马尔科夫概率转移矩阵的粗粒化（coarse-graining），详细介绍参见词条[[马尔科夫链的粗粒化]]。

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