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下面对一个时间因果涌现实例进行分析：

下面对一个时间因果涌现实例进行分析：

'''微观动力学'''：系统有A和B两个变量，每个变量[math]t[/math]和[math]t+1[/math]的状态由另一变量[math]t-2[/math]和[math]t-1[/math]时刻的状态决定，即遵循二阶马尔可夫机制(图A)。具体的状态决定机制如图C所示，当B前两时刻（[math]t-2[/math]，[math]t-1[/math]）状态为{11}时，A当前和后一时刻（[math]t[/math]，[math]t+1[/math]）状态可确定为{11}；当B前两时刻状态为其余三种情况{00,01,10}，A当前和后一时刻状态会以等概率出现这三种情况中的一种。基于一个微观时间步分析，得到 [[math]EI(S_m) = 0.16 \text{ bits}[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因果相互作用较弱，因为忽略了系统二阶性质。计算这个二阶马尔科夫链的 [math]EI(S_m) = 1.38 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。

'''微观动力学'''：系统有A和B两个变量，每个变量[math]t[/math]和[math]t+1[/math]的状态由另一变量[math]t-2[/math]和[math]t-1[/math]时刻的状态决定，即遵循二阶马尔可夫机制(图5(a))。具体的状态决定机制如图5中间的表格所示，当B前两时刻（[math]t-2[/math]，[math]t-1[/math]）状态为{11}时，A当前和后一时刻（[math]t[/math]，[math]t+1[/math]）状态可确定为{11}；当B前两时刻状态为其余三种情况{00,01,10}，A当前和后一时刻状态会以等概率出现这三种情况中的一种。基于一个微观时间步分析，得到 [[math]EI(S_m) = 0.16 \text{ bits}[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因果相互作用较弱，因为忽略了系统二阶性质。计算这个二阶马尔科夫链的 [math]EI(S_m) = 1.38 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。

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'''粗粒化映射'''：根据二阶马尔科夫性质，将微观态的时间步分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图D)；同空间因果涌现实例，图C概率转移矩阵中状态间明显的界限，可以将{[00,01,10],[11]}分别映射为{"off","on"}两个宏观状态。

'''粗粒化映射'''：根据二阶马尔科夫性质，将微观态的时间步分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图6(a))；同空间因果涌现实例，图5(b)概率转移矩阵中状态间明显的界限，可以将{[00,01,10],[11]}分别映射为{"off","on"}两个宏观状态。

'''宏观动力学'''：对二阶马尔科夫过程进行粗粒化后得到的宏观机制如图E所示，此时机制为完全确定和非简并的，即宏观时间尺度下 [math]EI(P_M) = 2 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 1[/math], [math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.62 \text{ bits}[/math]，因而因果涌现发生。

'''宏观动力学'''：对二阶马尔科夫过程进行粗粒化后得到的宏观机制如图6(b)所示，此时机制为完全确定和非简并的，即宏观时间尺度下 [math]EI(P_M) = 2 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 1[/math], [math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.62 \text{ bits}[/math]，因而因果涌现发生。

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