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马尔科夫链 (查看源代码)

2025年3月16日 (日) 15:14的版本

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第482行：第482行：

具有右连续性的随机过程中的每一条路径<math>t\mapsto X_t(\omega)</math>在每个新状态中必须保持一段时间不变，因此一共有三种可能的路径类型。第一种类型中有无限次跳跃，但是在任意一个给定的区间<math>[0,t]</math>中只有有限次。第二种类型中只有有限次跳跃，最终会永远“卡”在某一个状态中。第三种类型在一个有限的区间中发生无限次跳跃。第三种类型中，经过爆炸时间<math>\zeta</math>,整个随机过程会重新从头开始，之后可能会再次爆炸（即在有限的区间中发生无限次跳跃），可能会可能会有无限次跳跃，也可能只有有限次跳跃。

−

我们称<math>0=J_0,J_1,\dots</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃时间，其中<math>J_0=0,J_{n+1}=inf\{t\geq J_n:X_t\neq X_{J_n}\}</math>~~，它们是状态发生改变的时间点。每~~<math>S_1,S_2,\dots</math>称为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的停留时间，其中

+

我们称<math>0=J_0,J_1,\dots</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃时间，其中<math>J_0=0,J_{n+1}=inf\{t\geq J_n:X_t\neq X_{J_n}\}</math>，指状态发生改变的时间点。每<math>S_1,S_2,\dots</math>称为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的停留时间，其中

<math>S_n=\begin{cases}

第490行：第490行：

</math>

−

~~他们是每两个跳跃时间之间的状态持续时间。~~

+

指每两个跳跃时间之间的状态持续时间。

+

注意，右连续性保证了<math>S_n>0</math>。当<math>J_{n+1}=\infty</math>时，则我们定义<math>X_{\infty}=X_{J_n}</math>，否则最终状态<math>X_{\infty}</math>没有定义。（第一个）爆炸时间<math>\zeta</math>由下式定义：

+

<math>\zeta=\sup_nJ_n=\sum_{n=1}^{\infty}S_n</math>

+

从一个连续时间随机过程中，我们可以取一系列离散时间点得到一个离散时间随机过程，我们称由<math>Y_n=X_{J_n}</math>决定的离散时间随机过程<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>为<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的跳跃过程，特别地，当<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>为离散马尔科夫链时，也称它为跳跃链。这仅仅是在<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>爆炸之前的取值序列，并没有给出爆炸发生之后的信息。

+

由于我们不需要考虑在一个随机过程发生爆炸之后的行为，所以在<math>I</math>中添加一个新状态<math>\infty</math>来统一描述它。我们规定，<math>X_t=\infty</math>当<math>t\geq\zeta</math>时。我们称满足这种规定的随机过程为极小过程，极小过程指的并不是状态取值极小，而是当过程活跃的时间区间。注意一个极小过程可以由停留时间和跳跃过程中所蕴含的信息重建，因此通过指定<math>S_1,S_2,\dots</math>和<math>(Y_n)_{n\geq 0}</math>的联合分布，我们可以对<math>（X_t）_{t\geq 0}</math>的概率行为进行另一种“可数的”描述。例如，<math>X_t=i</math>的概率可以由下面的式子描述：

+

<math>\mathbb{P}(X_t=i)=\sum^{\infty}_{n=0}\mathbb{P}(Y_n=i,J_n\leq t<J_{n+1})</math>

+

<math>\mathbb{P}(X_t=i,t\in B\subseteq[0,\infty))=\mathbb{P}(Y_n=i,n\in B\subseteq\mathbb{N})</math>

==== 指数分布的性质 ====

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