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二、在未指定系统的宏观随附特征时，测量系统是否存在因果涌现的指标 <math>Syn(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1}^1,...,X_{t+1}^n)>0</math>可基于PhiID框架进一步分为如下两部分：

二、在未指定系统的宏观随附特征时，测量系统是否存在因果涌现的指标 <math>Syn(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>可基于PhiID框架进一步分为如下两部分：

<math>

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\text{Syn}(X_t; X_{t+1}) = \mathcal{G}(X_t; X_{t+1}) + \mathcal{D}(X_t; X_{t+1})\,.

\text{Syn}(X_t^1,...,X_t^n; X_{t+1}) = \mathcal{G}(X_t; X_{t+1}) + \mathcal{D}(X_t; X_{t+1})\,.

</math>

</math>

以二变量系统为例： <math>X_t</math> 由两个微观变量 <math>X_t^1</math> 和 <math>X_t^2</math> 组成，而 <math>X_{t+1}</math> 受 <math>X_t</math> 影响：

以二变量系统为例： <math>X_t</math> 由两个微观变量 <math>X_t^1</math> 和 <math>X_t^2</math> 组成，而 <math>X_{t+1}</math> 受 <math>X_t</math> 影响：

在 <math>\Phi ID</math> 框架下，对系统从时间 <math>t</math> 到 <math>t+1</math> 之间的互信息 <math>I(X_t; X_{t+1})</math> 进行分解，可以得到 16 个信息原子（information atoms）。这些信息原子由PID 信息原子的双向作用形成，即每个 <math> \Phi ID </math> 原子都可以表示为一个 <math> PID </math> 信息原子对的有向组合。

在 <math>\Phi ID</math> 框架下，对系统从时间 <math>t</math> 到 <math>t+1</math> 之间的互信息 <math>I(X_t; X_{t+1})</math> 进行分解，可以得到 16 个信息原子。这些信息原子由PID 信息原子的双向作用形成，即每个 <math> \Phi ID </math> 原子都可以表示为一个 <math> PID </math> 信息原子对的有向组合。

特别地，从 <math>{{12}} </math>出发的四个 <math> \Phi ID </math> 原子与因果涌现的定义及其分类直接相关，其中：因果解耦（G）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{12\}\}</math>，其取值大于零则系统具有因果解耦。向下因果（D）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{1\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{2\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{1\}\{2\}\}</math>，其中任意取值大于零则系统具有向下因果。

特别地，从 <math>{{12}} </math>出发的四个 <math> \Phi ID </math> 原子与因果涌现的定义及其分类直接相关，其中：因果解耦（G）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{12\}\}</math>，其取值大于零则系统具有因果解耦。向下因果（D）对应于 <math>\{\{12\}\} \to \{\{1\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{2\}\}, \{\{12\}\} \to \{\{1\}\{2\}\}</math>，其中任意取值大于零则系统具有向下因果。