| 第692行： |
第692行： |
| | | | |
| | 在因果态中，我们只需要对比转移矩阵的行，把相同的行划分成一组；而在成块性中，我们需要同时考虑矩阵的行与列，通过比较每一行到某几列的转移概率来做分组。 | | 在因果态中，我们只需要对比转移矩阵的行，把相同的行划分成一组；而在成块性中，我们需要同时考虑矩阵的行与列，通过比较每一行到某几列的转移概率来做分组。 |
| − |
| |
| − | ===高阶网络聚类 Higher-order Macronodes===
| |
| − |
| |
| − | Higher-order Macronodes，是由Jian Xu等人<ref name=":3">J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点划分方案，得出一个和微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵的方法，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]。
| |
| − |
| |
| − | 我们通过一个简单的成块划分例子来展示，成块性的粗粒化与HOM是如何对应的。该例子的状态转移图如下图所示：
| |
| − |
| |
| − | [[文件:Lumpability例子示意图.png|缩略图|图6：例子示意图|替代=|500像素|无]]
| |
| − |
| |
| − | 与之相应的状态转移概率矩阵为：
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
| |
| − | \begin{array}{c:c:cc:c:c}
| |
| − | 0 & 0 & 0.3 & 0.1 & 0.6 & 0\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 0 & 0 & 0.2 & 0.3 & 0 & 0.5\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 0 & 0 & 0 & 0.7 & 0.2 & 0.1\\
| |
| − | 0 & 0 & 0.7 & 0 & 0.2 & 0.1\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 1.0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 0 & 1.0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right ]
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | 对于这个转移概率矩阵，<math>\{1, 2, \{34\}, 5, 6\}</math>是一个成块的划分。
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | 首先，我们先按照成块性的粗粒化定义，计算对应的宏观转移概率：
| |
| − | <math>
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | \left [
| |
| − | \begin{array}{c:c:c:c:c}
| |
| − | 0 & 0 & 0.4 & 0.6 & 0\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0.5\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 0 & 0 & 0.7 & 0.2 & 0.1\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 1.0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
| |
| − | \hdashline
| |
| − | 0 & 1.0 & 0 & 0 & 0\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right ]
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | 然后，我们简单介绍[[网络归并]]中构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
| |
| − |
| |
| − | 在图（6）中，我们将节点3和4视为待合并的节点<math>A</math>。
| |
| − |
| |
| − | 1. 计算合并节点的入流：对于其他节点到待合并节点<math>A</math>的连边（图（6）中绿色的连边），直接加和即可。例如，<math>p_{s_1 \rightarrow A} = 0.3+0.1=0.4</math>，<math>p_{ s_2 \rightarrow A} = 0.2+0.3=0.5</math>
| |
| − |
| |
| − | 2. 计算合并节点的出流：对于待合并节点<math>A</math>到其他节点的连边（图（6）中棕色的连边），需要考虑三种情况：
| |
| − | #当待合并节点<math>A</math>间存在连边时；
| |
| − | #当待合并节点<math>A</math>指向同一个输出节点时；
| |
| − | #当待合并节点<math>A</math>指向不同输出节点时；
| |
| − |
| |
| − | 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：
| |
| − |
| |
| − | [[文件:HOM示例.png|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=|800像素|无]]
| |
| − |
| |
| − | '''然而'''，我们注意到，这三种计算方式本质上都是对待合并节点<math>A</math>中各节点的出流<math>W_i^{out}</math>的加权求和。而成块性的特性决定了，群组里的各节点到其他群组的出流<math>W_i^{out}</math>都是一样的。所以，对相同的<math>W_i^{out}</math>进行任意加权平均的结果仍然是<math>W_i^{out}</math>。这意味着，无论根据哪种情况采用哪种加权方法，对于成块划分来说，最终的结果都是一致的，且与成块性的粗粒化结果相同。
| |
| − |
| |
| − | 由此，我们总结，'''成块性的聚合方式和HOM的计算方式，无论入流还是出流都完全一致。'''
| |
| | | | |
| | <br/> | | <br/> |