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其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。

其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态（对应维度虽然取值非0，但相比其他维度相差过于悬殊）的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。

我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。

我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。

==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==

==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==

TPM矩阵本质上是离散条件概率构<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>成的矩阵，矩阵的第i行第j列标代表<math>x_t=i</math>的条件下<math>x_{t+1}=j</math>的概率，因此从条件概率的角度类比到连续系统，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：

TPM矩阵本质上是离散条件概率<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>勾成的矩阵，矩阵的第i行第j列代表<math>x_t=i</math>的条件下<math>x_{t+1}=j</math>的概率，因此从条件概率的角度类比到连续系统，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：

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<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},

<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},

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这里，<math>{\rm pdet}</math>代表伪行列式，<math>†</math>代表Moore-Penrose伪逆运算。由此，我们可以计算其近似动

这里，<math>{\rm pdet}</math>代表伪行列式，<math>†</math>代表Moore-Penrose伪逆运算。由此，我们可以计算其近似动力学可逆性指标<math>Γ_𝛼</math>：

力学可逆性指标<math>Γ_𝛼</math>：

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<math> \Gamma_\alpha=\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)^\frac{n}{2}{\rm pdet}(A^T\Sigma^{-1}A)^{\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4}}{\rm det}(\Sigma^{-1})^\frac{\alpha}{4}

<math> \Gamma_\alpha=\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)^\frac{n}{2}{\rm pdet}(A^T\Sigma^{-1}A)^{\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4}}{\rm det}(\Sigma^{-1})^\frac{\alpha}{4}

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可见逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。

可见逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。

===维度平均===

===维度平均===

==高斯噪声迭代系统==

==高斯噪声迭代系统==

和TPM有所不同，高斯噪声迭代系统下，动力学近似可逆性和维度平均有效信息同的关系，可以用两者和动力学参数矩阵<math>A</math>和协方差矩阵<math>\Sigma</math>两个矩阵的线性关系直接求出近似的解析解。

和TPM有所不同，高斯噪声迭代系统下，动力学近似可逆性和维度平均有效信息的关系，可以用两者和动力学参数矩阵<math>A</math>和协方差矩阵<math>\Sigma</math>两个矩阵的线性关系直接求出近似的解析解。这主要是由于此时概率空间是连续空间，无论删减多少个连续的区间，只要没有离散化，状态数量都是无穷，因此我们要从状态空间的研究转化为对欧式空间的研究，因为欧式空间有面积、体积的概念，对维度的约减会导致高维立方体的体积减小，使动力学的因果效用强度发生改变。

当逆向动力学<math>p(x_t|x_{t+1})=\mathcal{N}(A^\dagger x_{t+1}-A^\dagger a_0,A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T)</math>接近一个标准化的正态分布<math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\approx I_n</math>, <math>\Gamma_\alpha</math>和维度平均的有效信息满足关系

当逆向动力学<math>p(x_t|x_{t+1})=\mathcal{N}(A^\dagger x_{t+1}-A^\dagger a_0,A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T)</math>接近一个标准化的正态分布<math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\approx I_n</math>, <math>\Gamma_\alpha</math>和维度平均的有效信息满足关系

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=基于SVD分解的新粗粒化策略=

=基于SVD分解的新粗粒化策略=