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→特定宏观特征的因果涌现
因此，按照因果涌现的度量指标<math>Syn^{(k)}(A_t,B_t,C_t,D_t;A_{t+1},B_{t+1},C_{t+1},D_{t+1})</math>，即所有协同效应的总和，该案例存在因果涌现，并且其度量结果为前12个信息原子数量之和，共0.8018比特。
因此，按照因果涌现的度量指标<math>Syn^{(k)}(A_t,B_t,C_t,D_t;A_{t+1},B_{t+1},C_{t+1},D_{t+1})</math>，即所有协同效应的总和，该案例存在因果涌现，并且其度量结果为前12个信息原子数量之和，共0.8018比特。
=== 特定宏观特征的因果涌现 ===
=== 基于宏观态特有信息的因果涌现 ===
尽管上述基于[[协同信息]]的因果涌现是一种不依赖于任何粗粒化策略的因果涌现定义，同时它也能很好地刻画出涌现的“整体大于部分之和”的特征，但是它却很难被实际计算出来，这是因为计算各阶的协同信息需要遍历冗余晶格，其次冗余晶格的节点数会随着系统中变量数的增长而指数爆炸。因此，Rosas在<ref name=":5"/>中又提出了一种新的等价定义，该定义基于指定的宏观态变量，并且基于该变量的[[特有信息]]。
‘’'基于特有信息的因果涌现量化’‘’：在指定系统的宏观随附特征（即宏观态变量） <math>V_t</math> 后，系统的因果涌现可以被特有信息满足 <math>Un^{(k)}(V_t;X_{t+1}| X_t)</math>所量化，这里 <math>Un^{(k)}(V_t;X_{t+1}| X_t)0</math>表示在给定[math]X_t[/math]条件下，变量[math]V_t[/math]对[math]X_{t+1}[/math]的k阶特有信息。当<math>Un^{(k)}(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>，则称系统发生了因果涌现，即当前时刻的宏观态 <math>V_t</math> 能超过当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 给下一时刻的整体系统 <math>X_{t+1}</math> 提供更多信息，则系统存在因果涌现。此处的 <math>k</math>表示排除掉系统内每<math>k</math>个变量所构成的变量组内部所产生的该效应（类似于在微观和宏观间加入针对所有大小为<math>k</math>的子集的粗粒化中间层，然后仅关注从该中间层出发到宏观层间的因果效应）。为了便于理解，在本词条的后续介绍中默认<math>k=1</math>并不再标注，即不存在中间层的情况。
引理 1（因果涌现的必要条件），如果系统在时间 <math>t</math> 具有因果涌现特性，则必定满足：
基于以上的定义，Rosas 等人进一步提出了引理以支撑因果涌现的定义<ref name=":5"/>：
'''引理 1（因果涌现的必要条件）'''，如果系统在时间 <math>t</math> 具有因果涌现特性，则必定满足：
'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，既<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )>0</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗砺化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。
'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，既<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗粒化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。