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马尔科夫链的成块性 (查看源代码)

2025年4月25日 (五) 23:21的版本

添加14字节、 2025年4月25日 (五) 23:21

→‎比例成块性 Proportional Lumpability

第640行：第640行：

以这个例子为例，<math>q_{13}+q_{14} = q_{23}+q_{24}</math>。当我们计算P矩阵时，我们需要进行泰勒展开。

−

这里我们检查一下展开中的<math>Q^2</math>项。通过计算得知，

+

这里我们检查一下展开中的<math>(Q_1)^2</math>项。通过计算得知，

<math>

\begin{aligned}

−

(Q^2)_{13}+(Q^2)_{14}&=q_{11}q_{13}+q_{12}q_{23}+q_{13}q_{33}+q_{14}q_{43}+q_{11}q_{14}+q_{12}q_{24}+q_{13}q_{34}+q_{14}q_{44}\\

+

(Q_1^2)_{13}+(Q_1^2)_{14}&=q_{11}q_{13}+q_{12}q_{23}+q_{13}q_{33}+q_{14}q_{43}+q_{11}q_{14}+q_{12}q_{24}+q_{13}q_{34}+q_{14}q_{44}\\

&= q_{11}(q_{13}+q_{14})+q_{12}(q_{23}+q_{24})+q_{13}(q_{33}+q_{34})+q_{14}(q_{43}+q_{44})\\

&= (q_{11}+q_{12})(q_{13}+q_{14})+(q_{13}+q_{14})(q_{33}+q_{34})\\

&= (q_{21}+q_{22})(q_{13}+q_{14})+(q_{23}+q_{24})(q_{33}+q_{34})\\

−

&= (Q^2)_{23}+(Q^2)_{24}

+

&= (Q_1^2)_{23}+(Q_1^2)_{24}

\end{aligned}

</math>

所以，我们知道，如果<math>Q</math>强成块的话，<math>Q</math>的幂矩阵<math>Q^n</math>也是强成块的，所以<math>P = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (tQ)^n }{ n! }</math>也是强成块的。

+

第662行：第663行：

把<math>Q_1</math>中'''第二行'''元素乘以2，得到一个比例成块的<math>Q_3</math>，并得到对应的<math>P_3</math>。因为对第二行进行了改动，所以<math>P_3</math>中<math>s_1</math>和<math>s_2</math>就不再满足能放在同一组里的条件，但<math>s_3</math>和<math>s_4</math>仍能划分在同一组里。所以，<math>P_3</math>的强成块分组为<math>\{1\}, \{2\}, \{3, 4\}</math>。

+

在该例子中，虽然从<math>Q_1</math>到<math>Q_3</math>之间的操作比较简单，但<math>P_1</math>和<math>P_3</math>之间并没有一个明显的对应关系。比较清楚的是，当我们把<math>Q_3</math>的'''第2行'''速率调快了之后，停留在<math>s_2</math>的概率变小了，所以<math>P_3</math>的'''第2列'''就变小了。

Liangjh

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