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马尔科夫链的成块性 (查看源代码)

2025年4月26日 (六) 14:41的版本

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→‎比例成块性 Proportional Lumpability

第636行：第636行：

其中，<math>Q_1</math>为强成块的Q矩阵，设<math>t=1</math>代入<math>P(t) = exp(tQ)</math>，我们会得到一个强成块的<math>P_1</math>。

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~~为什么强成块的Q矩阵能得到强成块的P矩阵呢？~~

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为什么强成块的Q矩阵能得到强成块的P矩阵呢？以这个例子为例，<math>q_{13}+q_{14} = q_{23}+q_{24}</math>。当我们计算P矩阵时，我们需要进行泰勒展开。这里我们检查一下展开中的<math>(Q_1)^2</math>项。通过计算得知，

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~~以这个例子为例，~~<math>q_{13}+q_{14} = q_{23}+q_{24}</math>~~。当我们计算P矩阵时，我们需要进行泰勒展开。~~

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~~这里我们检查一下展开中的~~<math>(Q_1)^2</math>项。通过计算得知，

<math>

第656行：第652行： −

对<math>Q_1</math>~~中所有元素乘以2，得到~~<math>Q_2</math>，会得到另一个跟<math>P_1</math>不一样的强成块的<math>P_2</math>。这说明，在Q矩阵上的改动，反映到P矩阵上并不是简单的线性关系。

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对<math>Q_1</math>中'''所有元素'''乘以2，得到<math>Q_2</math>，会得到另一个跟<math>P_1</math>不一样的强成块的<math>P_2</math>。这说明，在Q矩阵上的改动，反映到P矩阵上并不是简单的线性关系。

我们发现<math>P_2</math>的对角线元素较<math>P_1</math>小，而非对角线元素则较大。这是因为在<math>Q_2</math>中，随机游走粒子从每个状态离开的速率都增大了，所以会倾向流向其他状态，而不是回到本状态。

第662行：第658行： −

把<math>Q_1</math>中'''~~第二行~~'''~~元素乘以2，得到一个比例成块的~~<math>Q_3</math>，并得到对应的<math>P_3</math>。因为对第二行进行了改动，所以<math>P_3</math>中<math>s_1</math>和<math>s_2</math>就不再满足能放在同一组里的条件，但<math>s_3</math>和<math>s_4</math>仍能划分在同一组里。所以，<math>P_3</math>的强成块分组为<math>\{1\}, \{2\}, \{3, 4\}</math>。

+

把<math>Q_1</math>中'''第二行元素'''乘以2，得到一个比例成块的<math>Q_3</math>，并得到对应的<math>P_3</math>。因为对第二行进行了改动，所以<math>P_3</math>中<math>s_1</math>和<math>s_2</math>就不再满足能放在同一组里的条件，但<math>s_3</math>和<math>s_4</math>仍能划分在同一组里。所以，<math>P_3</math>的强成块分组为<math>\{1\}, \{2\}, \{3, 4\}</math>。

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在该例子中，虽然从<math>Q_1</math>到<math>Q_3</math>之间的操作比较简单，但<math>P_1</math>和<math>P_3</math>之间并没有一个明显的对应关系。比较清楚的是，当我们把<math>Q_3</math>的'''第2行'''速率调快了之后，停留在<math>s_2</math>的概率变小了，所以<math>P_3</math>的'''第2列'''就变小了。

Liangjh

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