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在Erik Hoel因果涌现理论的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。

在Erik Hoel因果涌现理论的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。

对于离散的马尔科夫概率转移矩阵，我们可以使用Nx-r聚类矩阵=（$，，“，…，，）定义了一种粗粒度方法，其中每个向量$，表示第i个聚类中的成员，具体来说，如果第j个微观状态属于第i个宏观状态，则p，i=1。

对于离散的马尔科夫概率转移矩阵，我们可以使用一个<math>N\times r</math>聚类矩阵<math>\Phi=(\Phi_1^T,\cdots,\Phi_r^T)</math>定义粗粒化策略，其中向量<math>\Phi_i\in R^N</math>表示第i个聚类中包含的元素，例如第j个微观态属于第i个宏观态，则<math>\Phi_{i,j}=1</math>。

由于每个微观状态对应于一个唯一的宏观状态，因此所有向量p，即f1,2…，ri都是相互正交的。因此，粗粒度宏观动力学的转移概率矩阵（TP）可以表示如下：，

 

其中<math>D=diag(1/\sum_{j=1}^N \Phi_{1,j},\cdots,1/\sum_{j=1}^N \Phi_{r,j})</math>是归一化系数，使得<math>P^{'}</math>依然保持概率转移矩阵的性质。这种方法通过将<math>P</math>中不同列的概率相加并对所有维度行进行平均，将微观态压缩为宏观态。

==TPM矩阵的粗粒化方法==

==TPM矩阵的粗粒化方法==