更改

基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵或高斯迭代系统的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，一定程度上规避了因果涌现结果依赖于粗粒化策略的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。其次，这套理论指出一个动力系统的因果涌现特性仅仅是系统线性化算符的奇异值谱决定的，因而是一套更加反映系统动力学特性本身的因果涌现理论。

基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵或高斯迭代系统的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，一定程度上规避了因果涌现结果依赖于粗粒化策略的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。其次，这套理论指出一个动力系统的因果涌现特性仅仅是系统线性化算符的奇异值谱决定的，因而是一套更加反映系统动力学特性本身的因果涌现理论。

=基本概念=

===基本概念===

下面详细介绍该理论的基本概念，分别是动力学可逆性、近似动力学可逆性、清晰因果涌现和模糊因果涌现。

下面详细介绍该理论的基本概念，分别是动力学可逆性、近似动力学可逆性、清晰因果涌现和模糊因果涌现。

==严格的动力学可逆性==

==严格的动力学可逆性==

<!--我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。-->

<!--我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。-->

==TPM矩阵的近似动力学可逆性==

===TPM矩阵的近似动力学可逆性===

纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：

纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：