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====连续时间马尔科夫链中独有的概念====

====连续时间马尔科夫链中独有的概念====

=====转移速率矩阵=====\label{2}

=====转移速率矩阵=====

在CTMC中，我们几乎都是用'''转移速率矩阵'''或者'''转移强度矩阵'''来描述状态转移的规则，记作<math>Q=(q_{ij})_{i,j\in S}</math>，而几乎不用转移概率矩阵。因为CTMC的转移概率矩阵中有一个时间参数t，对于不同的时间参数转移概率矩阵的大小不同，使用起来很麻烦；但在时齐性的前提下，转移速率矩阵是保持不变的，使用起来更加方便。转移速率矩阵具有下面三个重要的性质：

在CTMC中，我们几乎都是用'''转移速率矩阵'''或者'''转移强度矩阵'''来描述状态转移的规则，记作<math>Q=(q_{ij})_{i,j\in S}</math>，而几乎不用转移概率矩阵。因为CTMC的转移概率矩阵中有一个时间参数t，对于不同的时间参数转移概率矩阵的大小不同，使用起来很麻烦；但在时齐性的前提下，转移速率矩阵是保持不变的，使用起来更加方便。转移速率矩阵具有下面三个重要的性质：

=====转移速率矩阵与转移概率矩阵关系===== \label{1}

=====转移速率矩阵与转移概率矩阵关系=====

在这一节我们给出转移速率矩阵和转移概率矩阵之间关系推导思路，供感兴趣的读者参考，先给定转移概率矩阵<math>P(t)</math>，看看怎么能得到转移速率矩阵<math>Q</math>。对于离散时间马尔科夫链的一步转移概率矩阵<math>P</math>可以唯一决定<math>n</math>步转移概率矩阵：<math>P(n)=P^n</math>。但是对于CTMC，并不存在一个最小的正数<math>\delta</math>，使得对于任意正数<math>t</math>，存在正整数<math>n</math>，有<math>P(t)=P(\delta)^n</math>成立。对于任意<math>\epsilon>0</math>，可以证明<math>\{P(s)|0<s\leq\epsilon\}</math>可以决定所有的<math>P(t)</math>。这就提示我们，<math>P(t)</math>可能被<math>P'(0)=\lim_{s\to 0^+}(P(s)-P(0))/s</math>唯一决定。这个极限是否存在呢？

在这一节我们给出转移速率矩阵和转移概率矩阵之间关系推导思路，供感兴趣的读者参考，先给定转移概率矩阵<math>P(t)</math>，看看怎么能得到转移速率矩阵<math>Q</math>。对于离散时间马尔科夫链的一步转移概率矩阵<math>P</math>可以唯一决定<math>n</math>步转移概率矩阵：<math>P(n)=P^n</math>。但是对于CTMC，并不存在一个最小的正数<math>\delta</math>，使得对于任意正数<math>t</math>，存在正整数<math>n</math>，有<math>P(t)=P(\delta)^n</math>成立。对于任意<math>\epsilon>0</math>，可以证明<math>\{P(s)|0<s\leq\epsilon\}</math>可以决定所有的<math>P(t)</math>。这就提示我们，<math>P(t)</math>可能被<math>P'(0)=\lim_{s\to 0^+}(P(s)-P(0))/s</math>唯一决定。这个极限是否存在呢？