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| | ===高阶网络聚类 Higher-order Macronodes v.s. 成块性=== | | ===高阶网络聚类 Higher-order Macronodes v.s. 成块性=== |
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| − | Higher-order Macronodes，是由Jian Xu等人<ref name=":3">J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点划分方案，得出一个和微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵的方法，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]。
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| | 我们通过一个简单的成块划分例子来展示，成块性的粗粒化与HOM是如何对应的。该例子的状态转移图如下图所示： | | 我们通过一个简单的成块划分例子来展示，成块性的粗粒化与HOM是如何对应的。该例子的状态转移图如下图所示： |
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| | </math> | | </math> |
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| − | 对于这个转移概率矩阵，<math>\{1, 2, \{34\}, 5, 6\}</math>是一个成块的划分。 | + | 对于这个转移概率矩阵，<math>\{1, 2, \{34\}, 5, 6\}</math>是一个成块的划分。其对应的宏观转移概率： |
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| − | 首先，我们先按照成块性的粗粒化定义，计算对应的宏观转移概率：
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| | <math> | | <math> |
| | \begin{aligned} | | \begin{aligned} |
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| | </math> | | </math> |
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| − | 然后，我们简单介绍[[网络归并]]中构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
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| − | 在图（6）中，我们将节点3和4视为待合并的节点<math>A</math>。
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| − | 1. 计算合并节点的入流：对于其他节点到待合并节点<math>A</math>的连边（图（6）中绿色的连边），直接加和即可。例如，<math>p_{s_1 \rightarrow A} = 0.3+0.1=0.4</math>，<math>p_{ s_2 \rightarrow A} = 0.2+0.3=0.5</math>
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| − | 2. 计算合并节点的出流：对于待合并节点<math>A</math>到其他节点的连边（图（6）中棕色的连边），需要考虑三种情况：
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| − | #当待合并节点<math>A</math>间存在连边时；
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| − | #当待合并节点<math>A</math>指向同一个输出节点时；
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| − | #当待合并节点<math>A</math>指向不同输出节点时；
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| − | 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：
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| − | [[文件:HOM示例.png|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=|500像素|无]]
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| − | '''然而'''，我们注意到，这三种计算方式本质上都是对待合并节点<math>A</math>中各节点的出流<math>W_i^{out}</math>的加权求和。而成块性的特性决定了，群组里的各节点到其他群组的出流<math>W_i^{out}</math>都是一样的。所以，对相同的<math>W_i^{out}</math>进行任意加权平均的结果仍然是<math>W_i^{out}</math>。这意味着，无论根据哪种情况采用哪种加权方法，对于成块划分来说，最终的结果都是一致的，且与成块性的粗粒化结果相同。
| + | 根据上一部分对HOM方法介绍，我们注意到，HOM中各情况的计算方式本质上都是对待合并节点<math>A</math>中各节点的出流<math>W_i^{out}</math>的加权求和。而成块性的特性决定了，群组里的各节点到其他群组的出流<math>W_i^{out}</math>都是一样的。所以，对相同的<math>W_i^{out}</math>进行任意加权平均的结果仍然是<math>W_i^{out}</math>。这意味着，无论根据哪种情况采用哪种加权方法，对于成块划分来说，最终的结果都是一致的，且与成块性的粗粒化结果相同。 |
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| | 由此，我们总结，'''成块性的聚合方式和HOM的计算方式，无论入流还是出流都完全一致。''' | | 由此，我们总结，'''成块性的聚合方式和HOM的计算方式，无论入流还是出流都完全一致。''' |