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所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm，F-norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。  

所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm，F-norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。  

首先，矩阵的秩可以被写作：

首先，矩阵的秩可以被写作：<math>r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}</math>，其中<math>\sigma_{i}</math>是矩阵P的第i个奇异值，[math]N[/math]是马尔科夫链的状态数。

<math>

r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}

</math>

其中<math>

\sigma_{i}

</math>是矩阵P的第i个奇异值，[math]N[/math]是马尔科夫链的状态数。

紧接着，矩阵的F-norm可以被写作：

紧接着，矩阵的F-norm可以被写作：<math>{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}</math>。这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和F-norm都与奇异值相联系。

<math>\begin{aligned}

{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}

</math>

这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和F-norm都与奇异值相联系。

由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画其靠近（可逆的）置换矩阵的程度。这就是矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性。定义为：

假设马尔科夫链的TPM为P，奇异值为<math>

</math>，那么矩阵P的<math>

\alpha

</math>阶近似动力学可逆性定义为：

<blockquote>

<blockquote>

<math>\begin{aligned}

<math>\begin{aligned}

<br/>

<br/>

=划分方法=

=划分方法=