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→高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现
==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略进阶版==
==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略进阶版==
虽然高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略提供的方法可以一定程度上解决粗粒化的问题，但是我们不难发现对于真实数据，很难直接得到严格意义上的协同粗粒化的空间<math>\Omega_{{\rm I}}</math>，如果直接在真实数据中运用，很容易变成对两组奇异值的筛选。因此为了更好的应对真实数据处理，杨明哲对上述方法进行了优化，得到了高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略进阶版。该粗粒化策略主要操作依然基于奇异值的筛选，主要流程如下。
===第一步===
首先将正向和逆向动力学的协方差矩阵组合成一个更大的2n*2n的伪对角矩阵
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
A^T\Sigma^{-1}A & O \\
A^T\Sigma^{-1}A & O \\
O & \Sigma^{-1} \\
O & \Sigma^{-1} \\
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}\in\mathcal{R}^{2n\times 2n}
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
随后我们可以直接对大<math>\tilde{\Sigma}</math>矩阵进行奇异值分解
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
得到奇异值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_n)</math>与奇异向量矩阵<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_n)</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_n</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有奇异值共同从大到小排列后产生的新奇异值谱。
<blockquote>
<blockquote>
我们同样规定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>，我们可以将奇异向量矩阵进行分解，得到
<math>
<math>
\tilde{U}=(\tilde{U}_{1},\tilde{U}_{2}),\tilde{U}_{1}\in\mathcal{R}^{2n\times r_{\epsilon}}, \tilde{U}_{2}\in\mathcal{R}^{2n\times (2n-r_{\epsilon})}
\tilde{U}=(\tilde{U}_{1},\tilde{U}_{2}),\tilde{U}_{1}\in\mathcal{R}^{2n\times r_{\epsilon0}}, \tilde{U}_{2}\in\mathcal{R}^{2n\times (2n-r_{\epsilon0})}
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中<math>\tilde{U}_{1}</math>表示我们希望保留的奇异值对应的奇异向量。
===第二步===
由于我们得到的矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>属于空间<math>\mathcal{R}^{2n\times r_{\epsilon0}}</math>，无法直接对n维向量进行粗粒化，因此还需要第二步SVD分解。我们可以将其前n行和后n行构成的矩阵进行相加，令
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
\tilde{U}_{11} \\
\tilde{U}_{11} \\
\tilde{U}_{12}
\tilde{U}_{12}
\end{pmatrix}, \tilde{U}_{11},\tilde{U}_{12}\in\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon}}
\end{pmatrix}, \tilde{U}_{11},\tilde{U}_{12}\in\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
随后将矩阵的行数压缩回n维，得到
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
\tilde{\tilde{U}}_{1}=\tilde{U}_{11}+\tilde{U}_{12}\in\mathcal{R}^{n\times (2n-r_{\epsilon})}
\tilde{\tilde{U}}_{1}=\tilde{U}_{11}+\tilde{U}_{12}\in\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
随后我们将该矩阵在进行SVD分解
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
\tilde{\tilde{U}}_{1}\tilde{S}=\hat{U}\hat{S}\hat{U}^T
\tilde{\tilde{U}}_{1}\tilde{S}=\hat{U}\hat{S}\hat{V}^T
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
<math>\hat{S}={\rm diag}(\hat{s}_1,\cdots,\hat{s}_n)</math>是矩阵<math>\tilde{\tilde{U}}_{1}</math>对应的奇异值，用同样的方法得到大于<math>\epsilon</math>的<math>\hat{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon}</math>后，我们可以再次对坐奇异向量矩阵进行分解得到
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
随后我们便可以根据第二步分解得到的奇异向量直接生成粗粒化参数矩阵，即
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
该方法可以全程使用SVD分解进行，不仅省去了繁杂的筛选过程，而且拥有更广泛的应用范围。
==连续系统具体案例==
==连续系统具体案例==