812
个编辑
更改
→尺度闭合性
===基础概念===
===软件和硬件===
====软件和硬件====
在这篇文章中，作者们使用‘软件’和‘硬件’来类比系统。比如说，当我们使用一台电脑计算“1+2”的时候，我们知道这台电脑会得出“3”的结果。这是因为我们知道软件的输入是“1+2”，而不会去想，把“1+2”翻译成一条二进制的机器码，交给软件的底层代码进行操作，得到“3”的机器码再翻译回来；更不会去想，计算机的硬件，比如CPU里各个组成中的晶片经过了什么样的变化来处理这条指令的。
在这篇文章中，作者们使用‘软件’和‘硬件’来类比系统。比如说，当我们使用一台电脑计算“1+2”的时候，我们知道这台电脑会得出“3”的结果。这是因为我们知道软件的输入是“1+2”，而不会去想，把“1+2”翻译成一条二进制的机器码，交给软件的底层代码进行操作，得到“3”的机器码再翻译回来；更不会去想，计算机的硬件，比如CPU里各个组成中的晶片经过了什么样的变化来处理这条指令的。
===单尺度因果态===
====单尺度因果态====
因果态是计算力学中的一个概念。它的意思是说，当我们在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。
因果态是计算力学中的一个概念。它的意思是说，当我们在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。
===跨尺度因果态===
====跨尺度因果态====
设我们对微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>，<math>f</math> 为粗粒化函数。刚才的ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的因果态和计算机器。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为
设我们对微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>，<math>f</math> 为粗粒化函数。刚才的ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的因果态和计算机器。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为
===因果闭合===
===因果闭合 Causal Closure===
因果闭合的定义为：<math>Z_t</math> 的ϵ-机器 与 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器 之间存在等价关系，即 <math>E'</math> 和 <math>U</math> 之间存在双射bijective投影关系（即两个空间内的因果态分组相互一一对应）。
因果闭合的定义为：<math>Z_t</math> 的ϵ-机器 与 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器 之间存在等价关系，即 <math>E'</math> 和 <math>U</math> 之间存在双射bijective投影关系（即两个空间内的因果态分组相互一一对应）。
===信息闭合===
===信息闭合 Information Closure===
上面所述的因果闭合的建模基于动力学的因果态，强调因果的概念。我们也可以关注计算力学的另一方面，即计算与预测。
上面所述的因果闭合的建模基于动力学的因果态，强调因果的概念。我们也可以关注计算力学的另一方面，即计算与预测。
===计算闭合===
===计算闭合 Computational Closure===
定义 <math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 分别为 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态。
定义 <math>Z</math> 的ϵ-机器为计算闭合，如果满足：存在粗粒化函数 <math>f^*</math>使得
<math>E'_t = f^*(E_t)</math>
也就是说， <math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 之间存在一个粗粒化的（一对一或多对一）映射关系。同样的，<math>X</math> 和 <math>Z</math> 之间也存在粗粒化的映射关系，所以我们可以看到这四个变量之间的关系可以归结于如下两条从 <math>X</math> 到 <math>E'</math> 的路径：
# <math>X \stackrel{\epsilon}{\rightarrow} E \stackrel{f^*}{\rightarrow} E'</math>
# <math>X \stackrel{f}{\rightarrow} Z \stackrel{\epsilon'}{\rightarrow} E'</math>
我们把 <math>f</math> 和 <math>f^*</math> 视作粗粒化算子，<math>\epsilon</math> 和 <math>\epsilon'</math> 视作因果态算子，那么我们看到两条路径中的粗粒化算子和因果态算子是可交换的。
上面提到过ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> 可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的一个意义就是指出，这种动力学不仅在本来的变量/状态空间中能够被粗粒化 <math>f</math> ，而且动力学的机制也能够被粗粒化 <math>f^*</math>。所以，当计算闭合时，宏观 <math>Z</math> 空间的机制能通过粗粒化微观 <math>X</math> 空间的机制而获得。
计算闭合的提出是为了解决如下一个问题：
我们可以把一个确定性自动机（deterministic automata）定义为 状态集（如 <math>s_1, s_2, ...</math>）和 输入符号集（如 <math>a, b, ...</math>）构成。由于其确定性，每个“状态+输入”组合唯一确定下一个状态，例如 状态 <math>s_1</math> 和 输入 <math>a</math> 一定会跳转到 <math>s_2</math>。当我们对输入符号粗粒化（例如：<math>\{a,b\}</math> 合并为符号 A，<math>c</math> 映射为 1），原确定性可能丢失（状态 <math>s_1</math> 遇到输入 0（原 <math>a</math> 或 <math>b</math>）可能跳转到 <math>s_2</math> 或 <math>s_3</math> ，不再唯一。
而计算闭合通过‘双重粗粒化’，对状态也进行一个粗粒化（从 <math>\{s_1, s_2, s_3\}</math> 到 <math>\{S_1, S_2\}</math>），以修复上述因输入符号被粗粒化后而破坏的确定性。它的目标是让新的状态空间 <math>\{S_1, S_2\}</math> 在宏观的输入 <math>\{A, B\}</math> 时仍有确定性的转移。
满足计算闭合的关键条件为：原自动机中，被合并的状态对合并后的输入必须有相同行为。比如，所有粗粒化到状态 <math>S_1</math> 的微观状态，在面对宏观输入 <math>A</math> 时，在下一步必须跳转到同一宏观状态。而面对宏观输入 <math>B</math> 时，则会统一跳转到另一宏观状态 <math>S_2</math>。
=划分方法=
=划分方法=