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→尺度闭合性
这个问题由来已久，Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>的文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要微观动力学（细胞的活动）来提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。
这个问题由来已久，Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>的文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要微观动力学（细胞的活动）来提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。
所以，这篇文章<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种闭合方式：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指两个尺度之间的闭合。当达到闭合时，即代表两个尺度达到了某种程度上的‘独立’。
===尺度闭合 与 成块性===
===尺度闭合 与 成块性===
在论文<ref name=":21" />中，作者给出了以下定理：
在论文<ref name=":Geiger">B. C. Geiger and C. Temmel, “Lumpings of Markov chains, entropy rate preservation, and higher-order lumpability,” J. Appl. Probab., vol. 51, no. 4, pp. 1114–1132, Dec. 2014, extended version: arXiv:1212.4375.</ref>中，作者给出了以下定理：
一个不可约irreducible，和非周期性aperiodic 的马尔科夫链 <math>X</math> ，而且 <math>Z_t=f(X_t)</math> 是对 <math>X</math> 的状态空间上定义的粗粒化函数，那 <math>X</math> 的强成块性 '''在其达到稳态stationary分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|X_t) </math>。
一个不可约irreducible，和非周期性aperiodic 的马尔科夫链 <math>X</math> ，而且 <math>Z_t=f(X_t)</math> 是对 <math>X</math> 的状态空间上定义的粗粒化函数，那 <math>X</math> 的强成块性 '''在其达到稳态stationary分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|X_t) </math>。
作者们<ref name=":21" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，
作者们<ref name="closure" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，
'''推断1'''：当一个马尔科夫链 <math>X_t</math> 存在粗粒化函数 <math>Z_t=f(X_t)</math>，而 <math>X_t</math> 对 <math>f</math> 强成块时，<math>Z_t</math> 满足因果闭合/计算闭合。（但是满足因果闭合/计算闭合的 <math>Z_t=f(X_t)</math> 不一定都是强成块的，详情请参考论文<ref name=":21" />反例6）。证明如下：
'''推断1'''：当一个马尔科夫链 <math>X_t</math> 存在粗粒化函数 <math>Z_t=f(X_t)</math>，而 <math>X_t</math> 对 <math>f</math> 强成块时，<math>Z_t</math> 满足因果闭合/计算闭合。（但是满足因果闭合/计算闭合的 <math>Z_t=f(X_t)</math> 不一定都是强成块的，详情请参考论文<ref name="Closure" />反例6）。证明如下：
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