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→跨尺度因果态
====跨尺度因果态====
====跨尺度因果态====
设我们对微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>，<math>f</math> 为粗粒化函数。上述的ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的因果态和计算机器。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为
设我们对微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>，<math>f</math> 为粗粒化函数。上述的ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的计算机器和因果态。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为
<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_t'} \ \ \text{iff}\ \ p( \overrightarrow{z_t} | \overleftarrow{x_t}) = p(\overrightarrow{z_t'}| \overleftarrow{x_t'}) </math>
<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}} \ \ \text{iff}\ \ p( \overrightarrow{z_t} | \overleftarrow{x_t}) = p(\overrightarrow{z_{t'}}| \overleftarrow{x_{t'}}) </math>
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(\overrightarrow{z_t}| \overleftarrow{x_t})</math> 的 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 和 <math>\overleftarrow{x_t'}</math> 定义为υ-机器的因果态 <math>U</math>：
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(\overrightarrow{z_t}| \overleftarrow{x_t})</math> 的 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 和 <math>\overleftarrow{x_{t'}}</math> 定义为υ-机器的因果态，<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} }, U_t = υ( \overleftarrow{X_t} ) </math>
<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} }, U_t = υ( \overleftarrow{X_t} ) </math>
它的意义是什么呢？作者给出的解释是，υ-机器的因果态是一个最优的信息瓶颈：υ-机器是一种对 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 粒度最粗的并满足对 <math>\overrightarrow{z_t}</math>的最大预测性的粗粒化方案。
它的意义是什么呢？作者给出的解释是，υ-机器的因果态是一个最优的信息瓶颈：υ-机器是一种对 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 粒度最粗的并满足对 <math>\overrightarrow{z_t}</math>的最大预测性的粗粒化方案。
了解了因果态的定义后，我们就能逐个了解这篇文章中的三种闭合定义。
了解了因果态的定义后，我们就能逐个了解这篇文章中的三种闭合定义。
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===因果闭合 Causal Closure===
===因果闭合 Causal Closure===