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=== 不相关网络k-core分解的特征 ===

=== 不相关网络k-core分解的特征 ===

对于k-core的理论研究主要关注k-core的临界性。经过剪枝过程网络可能完全消失没有节点保留，也有可能留下一个一定大小的k-core无法进一步的移除节点。k-core分解过程的临界点，k-core与网络结构的关联都是研究者关注的地方。对于k-core分解过程的特征的研究出发点通常是一个具有已知度分布和度密度的大型非关联随机网络，其统计特性由其度分布决定，具有相同度分布和相同度密度的随机网络可以被视为在结构上不可区分的。

对于k-core的理论研究主要关注k-core的临界性。经过剪枝过程网络可能完全消失没有节点保留，也有可能留下一个一定大小的k-core无法进一步的移除节点。k-core分解过程的临界点，k-core与网络结构的关联都是研究者关注的地方。对于k-core分解过程的特征的研究出发点通常是一个具有已知度分布和度密度的大型非关联随机网络，其统计特性由其度分布决定，具有相同度分布和相同度密度的随机网络可以被视为在结构上不可区分的。

1987年, Luczak<ref name='k-core er1'>{{Cite journal| doi = 10.1016/0012-365X(91)90162-U| issn = 0012365X| volume = 91| issue = 1| pages = 61–68| last = Łuczak| first = Tomasz| title = Size and connectivity of the k-core of a random graph| journal = Discrete Mathematics| year = 1991| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0012365X9190162U}}</ref>首次从理论上研究 k-core 问题，关于随机网络G(n, p)中 k-core 的大小得出了以下三个定理：

1987年, Luczak等人<ref name='k-core er1'>{{Cite journal| doi = 10.1016/0012-365X(91)90162-U| issn = 0012365X| volume = 91| issue = 1| pages = 61–68| last = Łuczak| first = Tomasz| title = Size and connectivity of the k-core of a random graph| journal = Discrete Mathematics| year = 1991| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0012365X9190162U}}</ref>首次从理论上研究 k-core 问题，关于随机网络G(n, p)中 k-core 的大小得出了以下三个定理：

（G(n, p) 是一个具有n个节点的网络，其中每对节点以概率p独立连接，v(k, n, p)表示k-core的节点数量，c表示网络平均度）

（G(n, p) 是一个具有n个节点的网络，其中每对节点以概率p独立连接，v(k, n, p)表示k-core的节点数量，c表示网络平均度）

第一个定理指出，对于 𝑘≥3，k-core 中的节点数要么为 0，要么大于0.0002n。这表明了一个不连续变化的存在。从其余两个定理中可以看出，在某些条件下，当平均度 c 足够大时，k-core 的大小要么为 0，要么非常大（几乎占据整个网络），这同样暗示了变化的不连续性。

第一个定理指出，对于 𝑘≥3，k-core 中的节点数要么为 0，要么大于0.0002n。这表明了一个不连续变化的存在。从其余两个定理中可以看出，在某些条件下，当平均度 c 足够大时，k-core 的大小要么为 0，要么非常大（几乎占据整个网络），这同样暗示了变化的不连续性。

G. J. Baxter<ref name='k-core dynamics'>{{Cite journal| doi = 10.1103/PhysRevX.5.031017| issn = 2160-3308| volume = 5| issue = 3| pages = 031017| last1 = Baxter| first1 = G. J.| last2 = Dorogovtsev| first2 = S. N.| last3 = Lee| first3 = K.-E.| last4 = Mendes| first4 = J. F. F.| last5 = Goltsev| first5 = A. V.| title = Critical dynamics of the k-core pruning process| journal = Physical Review X| date = 2015-08-18| url = http://arxiv.org/abs/1505.05484}}</ref>推导出了描述k-core剪枝过程的精确方程，并对其进行了数值求解。通过分析从第n步到第n+1步的剪枝过程，他们得出了四个递推方程：

G. J. Baxter等人<ref name='k-core dynamics'>{{Cite journal| doi = 10.1103/PhysRevX.5.031017| issn = 2160-3308| volume = 5| issue = 3| pages = 031017| last1 = Baxter| first1 = G. J.| last2 = Dorogovtsev| first2 = S. N.| last3 = Lee| first3 = K.-E.| last4 = Mendes| first4 = J. F. F.| last5 = Goltsev| first5 = A. V.| title = Critical dynamics of the k-core pruning process| journal = Physical Review X| date = 2015-08-18| url = http://arxiv.org/abs/1505.05484}}</ref>推导出了描述k-core剪枝过程的精确方程，并对其进行了数值求解。通过分析从第n步到第n+1步的剪枝过程，他们得出了四个递推方程：

:<math>(1)P(q,t+1) = P(q,t)-r_t q P(q,t) + r_t(q+1)P(q+1,t)</math></br>

:<math>(1)P(q,t+1) = P(q,t)-r_t q P(q,t) + r_t(q+1)P(q+1,t)</math></br>

:<math>(2)P(k-1,t+1) = r_t k P(k,t)</math></br>

:<math>(2)P(k-1,t+1) = r_t k P(k,t)</math></br>

=== 不相关网络k-core分解过程 ===

=== 不相关网络k-core分解过程 ===

S. N. Dorogovtsev [22]推导出了描述任意度分布的受损的随机不相关网络中 k-core 结构的精确方程。这一结果可以计算各种受损或未受损的随机网络中 k-core 的大小及其其他结构特征，并揭示复杂网络中 k-core 渗流的本质。</br>

S. N. Dorogovtsev 等人[22]推导出了描述任意度分布的受损的随机不相关网络中 k-core 结构的精确方程。这一结果可以计算各种受损或未受损的随机网络中 k-core 的大小及其其他结构特征，并揭示复杂网络中 k-core 渗流的本质。</br>

对于一个不相关网络（根据度分布由配置模型生成），考虑到无限稀疏的配置模型的树状结构特点，可以发现其k核与无限（k−1）叉子树（每个子节点至少有k-1个子代）完全重合。

对于一个不相关网络（根据度分布由配置模型生成），考虑到无限稀疏的配置模型的树状结构特点，可以发现其k核与无限（k−1）叉子树（每个子节点至少有k-1个子代）完全重合。

P(q)为度分布,Q=1-p表示网络中随机移除的节点的比例。设R为网络中某条边的一端不是无限（k-1）叉子树根节点的概率，那么一个节点属于k-core的概率</br>

P(q)为度分布,Q=1-p表示网络中随机移除的节点的比例。设R为网络中某条边的一端不是无限（k-1）叉子树根节点的概率，那么一个节点属于k-core的概率</br>

=== 相关网络k-core分解过程 ===

=== 相关网络k-core分解过程 ===

Shi et al. [24]使用基于非回溯拓展分支（NBEB-NonBacktracking Expansion Branch）的方法给出了k-core大小的精确解析解，首次揭示了k核剪枝过程中临界现象的精确行为特征。。他们的研究表明Baxter等人[20]提出的四个方程简化为单变量迭代形式，且k核剪枝过程能够完美映射至该迭代。论文中推导出了这一迭代的通用表达式。只要给定初始状态，便可计算出单变量迭代的每个中间状态，从而精确对应k核剪枝过程的每个阶段。特别地，对于随机生成的不相关网络，该理论能准确解析出剪枝过程中任意中间阶段所剩k-core的规模与结构特征。数值模拟结果进一步验证了理论分析的正确性。

Shi 等人[24]使用基于非回溯拓展分支（NBEB-NonBacktracking Expansion Branch）的方法给出了k-core大小的精确解析解，首次揭示了k核剪枝过程中临界现象的精确行为特征。。他们的研究表明Baxter等人[20]提出的四个方程简化为单变量迭代形式，且k核剪枝过程能够完美映射至该迭代。论文中推导出了这一迭代的通用表达式。只要给定初始状态，便可计算出单变量迭代的每个中间状态，从而精确对应k核剪枝过程的每个阶段。特别地，对于随机生成的不相关网络，该理论能准确解析出剪枝过程中任意中间阶段所剩k-core的规模与结构特征。数值模拟结果进一步验证了理论分析的正确性。

用e表示边，v表示点，<math>\alpha和\beta</math>表示节点下标，j、l、m表示节点的度，<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>表示从节点<math>v_2 到 v_1</math>的有向边，用<math>S_1</math>表示从v1到其每个邻居节点的有向边集合，<math>S_{2 \rightarrow 1}</math>表示所有在<math>S_1</math>除了<math>e_{1 \rightarrow 2}</math>的边。定义NBEB <math> B_{2 \rightarrow 1}</math>为从根边<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>延伸到子节点的树状结构。非回溯拓展分支（NBEB）通常具有无限性，由于从子节点继续不断地延伸的递归过程。

用e表示边，v表示点，<math>\alpha和\beta</math>表示节点下标，j、l、m表示节点的度，<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>表示从节点<math>v_2 到 v_1</math>的有向边，用<math>S_1</math>表示从v1到其每个邻居节点的有向边集合，<math>S_{2 \rightarrow 1}</math>表示所有在<math>S_1</math>除了<math>e_{1 \rightarrow 2}</math>的边。定义NBEB <math> B_{2 \rightarrow 1}</math>为从根边<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>延伸到子节点的树状结构。非回溯拓展分支（NBEB）通常具有无限性，由于从子节点继续不断地延伸的递归过程。

[[文件:ER网络的kcore相变.png|缩略图|ER网络的k-core变化]]

[[文件:ER网络的kcore相变.png|缩略图|ER网络的k-core变化]]

Wu et al. [25]指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu et al. [33]进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>

Wu 等人[25]指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu等人 [33]进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>

用<math>e_{jl}</math>表示一条边的两个端点分别具有剩余度 j 和 l 的概率，<math>\sum^{\infty}_{l=0} = q_j</math>，在不相关网络中，<math>e_{jl} = q_j * q_l</math>，不相关网络中的递推关系可以修改为如下：</br>

用<math>e_{jl}</math>表示一条边的两个端点分别具有剩余度 j 和 l 的概率，<math>\sum^{\infty}_{l=0} = q_j</math>，在不相关网络中，<math>e_{jl} = q_j * q_l</math>，不相关网络中的递推关系可以修改为如下：</br>

<math>q_l * y_{n,l} = \sum^{\infty}_{j=k-1}e_{lj}\sum^l_{m=k-1}(^j_m)y^m_{n-1,j}*{(1-y_{n-1,j})^{j-m}}</math></br>

<math>q_l * y_{n,l} = \sum^{\infty}_{j=k-1}e_{lj}\sum^l_{m=k-1}(^j_m)y^m_{n-1,j}*{(1-y_{n-1,j})^{j-m}}</math></br>