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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

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→‎尺度闭合性

第371行：第371行：

==尺度闭合性==

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当我们在研究多尺度系统时，在弄清尺度间是如何互相影响之前，我们可以先研究一个更简单的问题：我们如何能判断两个尺度之间的动力学是不是独立计算和演化的。

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当研究跨尺度的粗粒化时，判断粗粒化方案的一个指标是，得出的宏观动力学是否能够独立反映微观动力学在宏观层面的演化行为，而不需要使用微观动力学的状态信息对其进行修正。也就是说，判断微观和宏观动力学之间是不是独立计算和演化的。

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~~这个问题由来已久，Anil~~ Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物的身体，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要回到微观动力学（细胞的活动）去提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。

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这个问题由来已久，比如对于一个人类群体，既可以从社会学经济学角度解释系统的现象，也可以从生物学生理过程的层次去描述，还可以从分子尺度的物理学去描述。这些尺度上的各自规律可以独立成立，由此诞生了各个学科。这种分层次的现象一直被哲学家们用因果闭合或因果闭包的概念进行讨论。Anil Seth在他的动力学解耦<ref name=":23"> Barnett, L., & Seth, A. K. (2023). Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E, 108(1), 014304</ref>文章中认为，在一个复杂系统中，比如一个动物的身体，当宏观动力学（肢体的活动）能够自主演化，不需要回到微观动力学（细胞的活动）去提供预测信息的时候，我们就认为存在涌现。

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~~所以，这篇文章~~<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种闭合方式：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指两个尺度之间的闭合。当达到闭合时，即代表两个尺度达到了某种程度上的‘独立演化’。

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而Fernando E. Rosas等人的工作中<ref name="closure">Rosas, F. E., Geiger, B. C., Luppi, A. I., Seth, A. K., Polani, D., Gastpar, M., & Mediano, P. A. (2024). Software in the natural world: A computational approach to hierarchical emergence. arXiv preprint arXiv:2402.09090.</ref>研究了三种闭合方式：因果闭合、信息闭合和计算闭合，作为尺度间是否独立演化的指标。这里的闭合是指两个尺度之间的闭合。当达到闭合时，即代表两个尺度达到了某种程度上的‘独立演化’。

第383行：第383行：

====软件和硬件====

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~~作者们使用‘软件’和‘硬件’来类比系统。比如说，当我们使用一台电脑计算“1~~+2”的时候，我们知道这台电脑会得出“3”的结果。这是因为我们知道软件的输入是“1+2”，而不会这样想：把“1+2”翻译成一条二进制的机器码，交给软件的底层代码进行操作，得到“3”的机器码再翻译回来；更不会去想，计算机的硬件，比如CPU里各个组成中的晶片经过了什么样的变化来处理这条指令的。

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作者们使用‘软件’和‘硬件’来类比系统。当我们使用一台电脑计算“1+2”的时候，我们知道这台电脑会得出“3”的结果。这是因为我们知道软件的输入是“1+2”，而不会这样想：把“1+2”翻译成一条二进制的机器码，交给软件的底层代码进行操作，得到“3”的机器码再翻译回来；更不会去想，计算机的硬件，比如CPU里各个组成中的晶片经过了什么样的变化来处理这条指令的。

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所以，‘软件’代表了某个宏观尺度，‘硬件’代表了某个微观尺度。虽然‘软件’需要依托在‘硬件’之上运行，但是当我们去理解‘软件’的运行规律的时候，却不需要回到‘硬件’层面上来解释。这就是‘软件’和‘硬件’之间的计算独立性：‘软件’（对‘硬件’）闭合了。

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所以，这代表了，这类计算机的软件和硬件是可以分开讨论的。虽然‘软件’需要依托在‘硬件’之上运行，所以‘软件’代表了某个宏观尺度，‘硬件’代表了某个微观尺度。软件中每一个计算都离不开硬件上的特定变化，但是当我们去理解‘软件’的运行规律的时候，却不需要回到‘硬件’层面上来解释。这就是‘软件’和‘硬件’之间的计算独立性：‘软件’（对‘硬件’）闭合了。

计算机中的软件和硬件是人类定义的，那自然界中的其他非人造系统中会不会也存在这样的软件硬件的区分呢？这就是这篇文章主要探讨的事情。

第395行：第395行：

因果态是计算力学中的一个概念。它的意思是说，当我们在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。

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~~无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知t时刻的状态和历史记忆~~ <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。

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无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知 <math>t</math> 时刻的状态和历史记忆 <math>\overleftarrow{X_t}=\{... , X_{t-2}, X_{t-1}, X_t\}</math> 时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t})</math>，其中<math>\overrightarrow{X}^L_t=\{X_{t+1}, X_{t+2}, ... , X_{t+L}\}</math>，简写成<math>\overrightarrow{X_t}</math>。

不同时刻 <math>t</math> 和 <math>t'</math> 的状态和历史记忆虽然不完全一样，但是他们可能会导致同样的未来状态，<math>p(\overrightarrow{X_t}| \overleftarrow{X_t}) = p(\overrightarrow{X_t'}| \overleftarrow{X_t'}) </math>。所以，计算力学中把这些具有相同未来的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 划为等价euqivalent的状态，即

Liangjh

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