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== 复杂网络重整化的挑战 ==

== 复杂网络重整化的挑战 ==

重整化群方法已成功发现一类系统的普适性特征，但真实世界问题中相互作用极少呈现类格点规则性。结构无序与空间非均匀相互作用导致拓扑几何异质的网络模式，其特征包括：度分布多样性、小世界特性、非零集聚系数、模块化或层级结构[1-4]<ref name="Pósfai_Network_Science">{{cite journal|author1=Pósfai M|author2=Barabási A.-L.|title=Network Science|journal=Cambridge Univ. Press|year=2016|url=}}</ref><ref name="Squartini_Maximum_Entropy_Networks">{{cite journal|author1=Squartini T|author2=Garlaschelli D.|title=Maximum-Entropy Networks: Pattern Detection, Network Reconstruction and Graph Combinatorics|journal=Springer|year=2017|url=}}</ref><ref name="Newman_Networks">{{cite journal|author1=Newman M.|title=Networks|journal=Oxford Univ. Press|year=2018|url=}}</ref><ref name="Cimini_statistical_physics">{{cite journal|author1=Cimini G.|title=The statistical physics of real-world networks|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2019|volume=1|url=}}</ref>  

重整化群方法已成功发现一类系统的普适性特征，但真实世界问题中相互作用极少呈现类格点规则性。结构无序与空间非均匀相互作用导致拓扑几何异质的网络模式，其特征包括：度分布多样性、小世界特性、非零集聚系数、模块化或层级结构<ref name="Pósfai_Network_Science">{{cite journal|author1=Pósfai M|author2=Barabási A.-L.|title=Network Science|journal=Cambridge Univ. Press|year=2016|url=}}</ref><ref name="Squartini_Maximum_Entropy_Networks">{{cite journal|author1=Squartini T|author2=Garlaschelli D.|title=Maximum-Entropy Networks: Pattern Detection, Network Reconstruction and Graph Combinatorics|journal=Springer|year=2017|url=}}</ref><ref name="Newman_Networks">{{cite journal|author1=Newman M.|title=Networks|journal=Oxford Univ. Press|year=2018|url=}}</ref><ref name="Cimini_statistical_physics">{{cite journal|author1=Cimini G.|title=The statistical physics of real-world networks|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2019|volume=1|url=}}</ref>  

。这些不规则特征与系统有限性引起的边界效应和有限尺度效应[5-9]共同构成推广标准重整化群方法的挑战。

。这些不规则特征与系统有限性引起的边界效应和有限尺度效应<ref name="Radicchi_Complex_networks_renormalization">{{cite journal|author1=Radicchi F|author2=Ramasco J|author3=Barrat A|author4=Fortunato S.|title=Complex networks renormalization: flows and fixed points|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2008|volume=101|url=}}</ref><ref name="Radicchi_Renormalization_flows">{{cite journal|author1=Radicchi F|author2=Barrat A|author3=Fortunato S|author4=Ramasco J. J.|title=Renormalization flows in complex networks|journal=Phys. Rev. E|year=2009|volume=79|url=}}</ref><ref name="Chen_Finite_size_scaling">{{cite journal|author1=Chen D|author2=Su H|author3=Wang X|author4=Pan G.-J.|author5=Chen G.|title=Finite-size scaling of geometric renormalization flows in complex networks|journal=Phys. Rev. E|year=2021|volume=104|url=}}</ref><ref name="Chen_Scaling_properties">{{cite journal|author1=Chen D|author2=Cai D|author3=Su H.|title=Scaling properties of scale-free networks in degree-thresholding renormalization flows|journal=IEEE Trans. Netw. Sci. Eng.|year=2023|volume=10|url=}}</ref><ref name="Serafino_True_scale_free">{{cite journal|author1=Serafino M.|title=True scale-free networks hidden by finite size effects|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2021|volume=118|url=}}</ref> 

共同构成推广标准重整化群方法的挑战。

重整化群分析通常包含三个步骤：定义粗粒化变量、平均掉局部涨落、重整化耦合和参数。第一步在平移不变度量空间（如规则格点）中直接可行，但在高度非均匀和小世界网络中，如何定义块节点或慢模态成为问题。此类网络常基于受数据限制的经验分辨率构建，直接在聚合水平建模可能无法捕捉细尺度动态，如2008年金融危机和COVID-19疫情中的冲击传播[12,13]。

重整化群分析通常包含三个步骤：定义粗粒化变量、平均掉局部涨落、重整化耦合和参数。第一步在平移不变度量空间（如规则格点）中直接可行，但在高度非均匀和小世界网络中，如何定义块节点或慢模态成为问题。此类网络常基于受数据限制的经验分辨率构建，直接在聚合水平建模可能无法捕捉细尺度动态，如2008年金融危机和COVID-19疫情中的冲击传播<ref name="Bardoscia_financial_networks">{{cite journal|author1=Bardoscia M.|title=The physics of financial networks|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2021|volume=3|url=}}</ref><ref name="Soriano-Paños_epidemics">{{cite journal|author1=Soriano-Paños D.|title=Modeling communicable diseases, human mobility, and epidemics: a review|journal=Ann. Phys.|year=2022|volume=534|url=}}</ref> 

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第二步平均局部波动在同质格点中可借助坐标邻近性定义连通性，但在不规则网络化空间中，局部性概念难以直接推广。网络的稀疏性、度分布异质性及小世界特性中的长程相互作用，使复杂网络中局部性定义复杂化。

第二步平均局部波动在同质格点中可借助坐标邻近性定义连通性，但在不规则网络化空间中，局部性概念难以直接推广。网络的稀疏性、度分布异质性及小世界特性中的长程相互作用，使复杂网络中局部性定义复杂化。