5,443
个编辑
更改
→重整化群方法的基本原理
信息论方法也能够探索网络不同尺度间的相互作用。在复杂网络中，更大尺度通常能提供关于网络连接结构的更丰富的信息量，这一现象称为因果涌现现象<ref name="Klein_Emergence_higher_scales">{{cite journal|author1=Klein B|author2=Hoel E.|title=The emergence of informative higher scales in complex networks|journal=Complexity|year=2020|url=}}</ref>，因果涌现可有效降低节点间关系观测的不确定性。此外，针对具有特定的图上的动力学过程，可能存在多种捕捉原始过程不同特征的粗粒化描述。信息论方法有助于评估网络动力学过程状态空间的划分如何影响其约化后的动力学行为<ref name="Faccin_Entrograms">{{cite journal|author1=Faccin M|author2=Schaub M. T.|author3=Delvenne J.-C.|title=Entrograms and coarse graining of dynamics on complex networks|journal=J. Complex Netw.|year=2017|volume=6|url=}}</ref>。
信息论方法也能够探索网络不同尺度间的相互作用。在复杂网络中，更大尺度通常能提供关于网络连接结构的更丰富的信息量，这一现象称为因果涌现现象<ref name="Klein_Emergence_higher_scales">{{cite journal|author1=Klein B|author2=Hoel E.|title=The emergence of informative higher scales in complex networks|journal=Complexity|year=2020|url=}}</ref>，因果涌现可有效降低节点间关系观测的不确定性。此外，针对具有特定的图上的动力学过程，可能存在多种捕捉原始过程不同特征的粗粒化描述。信息论方法有助于评估网络动力学过程状态空间的划分如何影响其约化后的动力学行为<ref name="Faccin_Entrograms">{{cite journal|author1=Faccin M|author2=Schaub M. T.|author3=Delvenne J.-C.|title=Entrograms and coarse graining of dynamics on complex networks|journal=J. Complex Netw.|year=2017|volume=6|url=}}</ref>。
真实世界网络的异质性可能使得不同方法得到的结果出现相互矛盾，解决这种方法上的不等价性需要基于第一性原理建立适用范围更广泛的复杂网络重整化框架。构建这样的框架需要重新审视重整化方案的根基，也就是，那些相对成熟的，定义在具备规则格点和均匀同质度量的系统上的重整化方法，同时也需注意前述章节讨论的挑战。接下来，我们将回顾应对这些挑战而尝试的不同方法。为了便于讨论，我们首先为读者们讲解其中的一些共同基础。
我们首先讨论粗粒化变量的定义。为了固定符号，引入 <math>N_\ell \times N_\ell</math> 的邻接矩阵 <math>A^{(\ell)}</math> 来表示在给定分辨率尺度下的网络，即对给定的层级（尺度） <math>\ell</math>， <math>N_\ell</math> 代表该在层级能够观察到的节点数。 <math>\ell = 0</math> 表示“最精细”层级（即网络数据可用的原始层级），而 <math>\ell > 0</math> 表示粗粒化过程的第 <math>\ell</math> 次迭代（在考虑“细粒化”方法时，也允许“负层级” <math>\ell < 0</math>的出现，稍后会进一步解释）。对于加权网络，还需要用于表示链接强度的权重矩阵 <math>W^{(\ell)}</math>。
对变量的粗粒化可以通过不同方式实现。推广“实空间”重整化程序的方法通过“块节点”来定义粗粒化变量，这些块节点决定了下一层级邻接矩阵的行和列。对于这些方法，定义“空间平铺”（tiling）的等价操作是定义特定的划分 <math>\Omega_\ell</math>，满足将第 <math>\ell</math> 层级的 <math>N_\ell</math> 个节点 <math>\{i_\ell\}_{i_\ell=1}^{N_\ell}</math> 映射到下一层级 <math>\ell + 1</math> 的数量更少的 <math>N_{\ell+1}</math> 个粗粒化节点（“块”） <math>\{i_{\ell+1}\}_{i_{\ell+1}=1}^{N_{\ell+1}}</math>。而那些试图推广 k 空间重整化程序的方法则是需要去给出推广的“对偶空间”的定义，这可以通过将格点分解为基本模态的邻接矩阵的显式算符表示来实现。（注：一个线性空间的对偶空间在数学上粗略地是指这个线性空间上的所有线性泛函所构成的线性空间。）
对实空间中精细细节的积分消去操作（“积掉”），其本质是定义了一个 <math>A^{(\ell)}</math>到 <math>A^{(\ell+1)}</math>的满射（即多对一映射，因而是不可逆的），同时如果需要，还需定义从 <math>W^{(\ell)}</math>到 <math>W^{(\ell+1)}</math>的满射，而在k空间中则需要定义对偶算子在相邻层级间的类似映射。对此的自然选择是采用局部映射，即粗粒化矩阵 <math>A_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)}</math>的元素 <math>i_{\ell+1}</math>和 <math>j_{\ell+1}</math>仅依赖于细粒度矩阵中包含于该粗粒化节点的微观节点的元 <math>\{A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)}\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}}</math>，即
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
A_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal F\left( \left\{ A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)
A_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal F\left( \left\{ A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)
</math>
</math>
其中<math>\mathcal{F}</math>为函数，例如二值层级下，当且仅当<math>\ell</math>层级块间存在连边时，粗粒化块间连边存在：
|{{EquationRef|1}}}}
其中 <math>\mathcal{F}</math>表示某个函数。例如，在纯二值层级上，当且仅当在 <math>\ell</math>层级上存在从块 <math>i_{\ell+1}</math>“内部”任意节点（记为 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math>）到块 <math>j_{\ell+1}</math>“内部”任意节点（类似地记为 <math>j_\ell \in j_{\ell+1}</math>）的至少一条连边时，块 <math>i_{\ell+1}</math>到块 <math>j_{\ell+1}</math>的连边才存在。此粗粒化步骤生成的邻接矩阵 <math>A^{(\ell+1)}</math>的元素可以表示为：
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
A_{i_{\ell+1}j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = 1 - \prod_{i_\ell \in i_{\ell+1}} \prod_{j_\ell \in j_{\ell+1}} \left(1 - A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)}\right)
A_{i_{\ell+1}j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = 1 - \prod_{i_\ell \in i_{\ell+1}} \prod_{j_\ell \in j_{\ell+1}} \left(1 - A_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)}\right).
</math>
</math>
|{{EquationRef|2}}}}
类似地，可以引入一个局部方案，从 <math>W^{(\ell)}</math> 获得粗粒化矩阵 <math>W^{(\ell+1)}</math>：
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
W_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal G\left( \left\{ W_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)
W_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}^{(\ell+1)} = \mathcal G\left( \left\{ W_{i_\ell j_\ell}^{(\ell)} \right\}_{i_\ell \in i_{\ell+1}, j_\ell \in j_{\ell+1}} \right)
</math>
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
其中 <math>\mathcal G</math> 表示一个函数。需要注意的是， <math>\mathcal F</math> 和 <math>\mathcal G</math> 的选择的自由度导致了结果对方案的依赖性，这是任何重整化群方法中都普遍存在的需要注意的事项。更重要的是，如上所述， <math>\mathcal F</math> 和 <math>\mathcal G</math> 是满射，因此一般不可逆：这些性质对应于小尺度信息丢失，使得重整化群仅能成为半群。类似地，对偶空间方法中对快模态有损积分也具有相同的性质。
最后，需要将重整化推广到耦合系数和模型参数上。如果网络是一个单一的确定性图（例如经验网络），具有某些特定的互作模式或过程特征，那么这最后一步取决于耦合系数和模型参数本身的性质。对于过程与该网络在其对偶空间中的表示能够一一对应，那么这一步骤可以直接从积分掉小尺度细节的步骤的结果中得出，例如，在拉普拉斯网络重整化部分中详细讨论的扩散过程。相反，如果“网络”不是确定性的，而是由随机图模型（带有其自身参数）表示，也就是说，网络在原始分辨率 <math>\ell = 0</math> 时已经具有多次统计抽样，那么重整化耦合还需要包括随机图参数的重整化，例如几何网络重整化和多尺度网络重整化部分所讨论的内容。这样做需要对图和随机图模型参数上诱导概率分布的函数流进行单独分析。需要强调的是，在其不动点处（概率分布不再改变其形状，而仅改变其参数），重整化流可能会在统计上“可逆”，即可以通过参数变化将概率分布的流从较高层级逆向到较低层级。如果将其应用在原始层级 <math>\ell = 0</math> 上，这种逆向的流实际上可能产生网络的细粒化版本（ <math>\ell < 0</math>），会具有更多的节点，并且通常具有更稀疏的拓扑结构。
== 几何网络重整化 ==
== 几何网络重整化 ==